Метод сечений и внутренние силовые факторы (ВСФ)

Прочность твердого тела обусловлена силами сцепления между отдельными его частицами (атомами, молекулами и т. п.). В случае нагружения твердого тела внешней нагрузкой (активными и реактивными силами) внутренние силы сцепления изменяются. При этом появляются дополнительные внутренние силы, сопровождающие деформацию тела. Именно эти дополнительные внутренние силы и являются предметом изучения в курсе сопротивления материалов. По мере возрастания внешней нагрузки увеличиваются и внутренние силы, но лишь до определенного предела, при превышении которого наступает разрушение.

Для решения задач сопротивления материалов очень важно уметь определять внутренние силы и деформации стержня. При определении внутренних сил в каком-либо сечении стержня используют метод сечений.

Рассмотрим на конкретном примере сущность метода сечений. Возьмем стержень, находящийся в состоянии равновесия под действием сил Ft, F 2 , F } и F 4 (рис. 3,а). Для определения внутренних сил, действующих в произвольном сечении А, мысленно рассечем стержень и отбросим одну из двух полученных частей, например, правую. Тогда на оставшуюся левую часть стержня будут действовать внешние силы F и F 2 .

Рис. 3. Метод сечений: а) стержень, рассеченный плоскостью;

б) левая отсеченная часть стержня

Для того чтобы эта часть стержня оставалась в равновесии, следует действие отброшенной правой части стержня на оставшуюся левую часть заменить внутренними силами, приложенными по всему сечению (рис. 3, б).

Являясь внутренними силами для целого стержня, эти силы играют роль внешних сил для его левой части.

NB: в дальнейшем силы, возникающие в сечении, будем называть внутренними и в то же время на рисунках изображать их в виде внешних сил.

Распределенные по сечению внутренние силы образуют пространственную систему сил и приводятся к статически эквивалентным им обобщенным усилиям - главному вектору и главному моменту М гл (рис. 4, а).

В сопротивлении материалов, характеризуя усилия в стержне, обычно рассматривают поперечные сечения, а обобщенные усилия представляют в главной координатной системе (при этом ось z направляют по нормали к сечению, а оси х и у располагают в плоскости сечения).

Проецируя главный вектор /? г, на оси координат, получаем три его составляющие: N y Q y и Q x . Проекциями главного момента на координатные оси являются его составляющие: моменты М х, М у и Г, каждый из которых стремится повернуть отсеченную часть стержня вокруг одной из координатных осей. Эти составляющие главного вектора и главного момента на координатные оси называют внутренними силовыми факторами (рис. 4, б).

Рис. 4. Метод сечений: а) приведение системы внутренних сил в сечении к главному вектору и главному моменту; б) разложение главного вектора и главного момента на координатные оси

Внутренними силовыми факторами называются проекции главного вектора и главного момента всех внутренних сил, возникающих в поперечном сечении стержня, на главные координаты оси, помещаемые обычно в центр тяжести сечения.

В общем случае нагружения стержня в его поперечном сечении могут возникать шесть внутренних силовых факторов , которые имеют следующие названия:

S N - продольная (нормальная) сила;

S QyUQ x - поперечные силы;

S М Х 1 Л М у - изгибающие моменты;

S Т - крутящий момент.

При известных внешних силах все шесть внутренних силовых факторов могут быть определены из шести уравнений статики (уравнений равновесия), которые составляются для отсеченной части стержня (правой или левой):

NB: в приведенных условиях равновесия отсеченной части стержня символами F x omc , F y omc и F z ome обозначены проекции внешних сил на соответствующие координатные оси; а символом F° mc - внешние силы.

Рассмотренный метод сечений позволяет перевести внутренние силовые факторы в категорию внешних сил и, подчинив условиям равновесия, определить их величины и направления.

Сущность метода сечений заключается в следующих четырех действиях:

• 1. Рассечь мысленно стержень плоскостью, перпендикулярной его оси в том месте, где требуется найти внутренние силовые факторы (см. рис. 3, а).
• 2. Отбросить одну из частей стержня (правую или левую).
• 3. Заменить действие отброшенной части стержня на оставленную часть искомыми внутренними силовыми факторами (см. рис. 4, б). Равновесие оставленной части не нарушится лишь в том случае, если к ней приложить ВСФ, заменяющие действие отброшенной части. Для оставленной части они будут играть роль внешних сил (см. рис. 3, б).
• 4. Уравновесить оставленную часть стержня и из условий равновесия оставленной части стержня найти величины и направления внутренних силовых факторов.

От степени усвоения метода сечений зависит успешное изучение и понимание основных вопросов сопротивления материалов. Добиться этого несложно, если при применении метода сечений каждый раз последовательно использовать все четыре указанные операции. При этом следует помнить, что пропуск какой-либо из этих операций неизбежно приведет к ошибкам и недопониманию изучаемого вопроса.

При применении метода сечений должны быть предварительно определены все внешние силы и моменты, приложенные к отсеченной части стержня, в том числе и опорные реакции. Оставленная часть стержня должна рассматриваться как свободное тело, находящееся под действием приложенных к нему внешних сил, моментов и внутренних силовых факторов, не изменяющее своего положения в пространстве (опоры отсутствуют, так как их действия заменены опорными реакциями).

Взаимодействие между частями конструкции (тела) характе­ризуется внутренними силами, которые возникают внутри нее под действием внешних нагрузок.

Определяются внутренние силы с помощью метода сечений . Суть метода сечения в следующем: если при действии внешних сил тело находится в состоянии равновесия, то любая отсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и внутренними усилиями также будет находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения равновесия. То есть, не влияют на условия равновесия тела, так как являются самоуравновешенными.

Рассмотрим тело, к которому приложена некоторая система внешних сил F 1 , F 2 , …, F n , удовлетворяющая условиям равновесия, т.е. при действии указанных внешних сил тело находится в состоянии равновесия. Если необходимо, то определяются опорные реакции из уравнений равновесия (берем объект, отбрасываем связи, заменяем отброшенные связи реакциями, составляем уравнения равновесия и ). Реакции можно не находить, если они не входят в число внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемых сечений.

Мысленно рассекаем тело произвольным сечением, отбрасываем левую часть тела и рассматриваем равновесие оставшейся части.

Если бы не было внутренних сил, оставшаяся неуравновешенная часть тела начала бы двигаться под действием внешних сил. Для сохранения равновесия, действие отброшенной части тела заменяем внутренними силами приложенными к каждой частице тела.

Из теоретической механики известно, что любая система сил может быть приведена в любую точку пространства в виде главного вектора сил \vec{R} и главного момента сил \vec{M} (теорема Пуансо). Модуль и направление этих векторов неизвестны.

Удобнее всего определять эти вектора через их проекции на оси x,y,z. $$\vec{R} = \vec{N} + \vec{Q_x}+\vec{Q_y}, \ \ \vec{M} = \vec{M_k} + \vec{M_x}+\vec{M_y} $$ или

Проекции векторов \vec{R} и \vec{M} носят следующие названия:

• N - продольное усилие,
• Q x и Q y - поперечные (перерезывающие) силы соответственно вдоль осей x и y,
• M k - крутящий момент (обозначается иногда буквой T),
• M x , M y - изгибающие моменты соответственно вокруг осей x и y

В общем случае для определения внутренних усилий имеем 6 неизвестных, которые можно определить из 6 уравнений равновесия.

где \sum F_i, \sum M(F)_i – внешние силы и моменты, действующие на оставленную часть тела.

Решив систему из 6-и уравнений с 6-ю неизвестными, определяем все внутренние усилия. В сечении могут присутствовать не все шесть внутренних
силовых факторов одновременно – это зависит от вида внешней нагрузки и способа ее приложения.

Пример: для стержня

Общее правило определения любого внутреннего усилия:

Усилия Q x , Q y , N равняются алгебраической сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от выбранного сечения, соответственно на оси x, y или z .

Моменты M x , M y , M k равняются алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от выбранного сечения, соответственно относительно осей x, y или z, проходящих через центр тяжести выбранного сечения.

При использовании приведенного правила необходимо принять правило знаков для внутренних усилий.

Правило знаков

• Нормальная растягивающая сила (направлена от сечения) считается положительной, а сжимающая – отрицательной.
• Крутящий момент в сечении, направленный против часовой стрелки, считается положительным, по часовой стрелке – отрицательным.
• Положительному изгибающему моменту соответствуют сжатые волокна сверху, отрицательному – снизу.
• Знак поперечной силы удобно определять по тому, в каком направлении пытается повернуть отсеченную часть балки результирующая поперечной нагрузки относительно рассматриваемого сечения: если по часовой стрелке - сила считается положительной, против часовой стрелки - отрицательной.

1 График изменения внутреннего усилия по заданной оси тела называется эпюрой.

Для того чтобы судить о прочности исследуемого тела, находящегося в равновесии под действием внешних сил, прежде всего необходимо уметь определить вызванные ими внутренние усилия.

Внешние силы деформируют тело; внутренние усилия сопротивляясь этой деформации, стремятся сохранить первоначальную форму и объем тела.

Обнаружение внутренних усилий, их вычисление составляют первую и основную задачу сопротивления материалов, которая решается с помощью метода сечений, сущность этого метода заключается в следующем:

• - первая операция. Рассекаем (мысленно) стержень по сечению в котором следует определить величину внутренних усилий.
• - вторая операция. Отбрасываем какую-либо часть стержня, например, часть 1. Обычно отбрасывают ту часть, к которой приложено большее число сил.
• - третья операция. Заменяем силы, действующие на оставшуюся часть главным вектором и главным моментом, совместив центр приведения О с центром тяжести (ц. т.) сечения (на рис.1,б М не показан).
• - четвертая операция. Уравновешиваем оставшуюся часть, так как до рассечения она находилась в равновесии. Для этого в точке О прикладываем силу R и момент M, равные и противоположно направленные главному вектору и главному моменту. Усилия и и являются теми внутренними усилиями, которые передавались со стороны отброшенной на оставшуюся часть стержня.
• - Метод сечений является лишь первым шагом по пути исследования внутренних сил, так как с его помощью не удается выяснить закон распределения внутренних сил в сечении.

Составляя уравнения равновесия для отсечённой части тела, можно получить проекции на координатные оси как главного вектора, так и главного момента.

При расчёте брусьев начало координат помещают в центре тяжести рассматриваемого поперечного сечения его. Ось "Z" в прямом брусе совмещают с его продольной осью, в кривом - направляют по касательной к его оси в точке, где помещено начало координат.

Оси "X" и "Y" совмещают с направлениями главных центральных осей инерции рассматриваемого сечения. Проекции на координатные оси главного вектора и главного момента внутренних сил в брусе обозначают соответственно: , N, M x , M y , и называют внутренними силовыми факторами (внутренними усилиями).

Представляют собой поперечные силы в направлении оси "X" или "Y" (Н)

N - нормальную (продольную) силу (н.).

M x , M y - изгибающие моменты относительно осей соответственно "X" или "Y" (нм)

M z - крутящий момент (нм).

Рассмотрев отсечённую часть бруса (например правую) (рис.1,б) и составив на основании метода сечений уравнения равновесия, можно сказать следующее: нормальная сила N есть сила внутренняя, численно равная сумма проекции на продольную ось бруса всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

• -поперечная сила в направлении оси "X" численно равна сумме проекций на ось "X" всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.
• - поперечная сила в направлении оси "Y" численно равна сумме проекций на ось "Y" всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения

M x - изгибающий момент относительно оси "X" численно равна сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от этого сечения.

M Y - изгибающий момент относительно оси "Y" численно равна сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от этого сечения.

M z - изгибающий момент относительно оси "Z" численно равна сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от этого сечения.

Итак, в общем случае нагружения бруса внутренние силы в его поперечных сечениях приводятся к указанным шести внутренним силовым факторам.

Виды нагрузок, типы опор и балок.

Всякий стержень, работающий на изгиб, называется балкой.

Активные силы полагаются известными и сводятся к сосредоточенным силам F(H), парам сил m (нм) и распределенным по длине балки нагрузкам q (н/м). Величина и направление реакций R 1, R 2 определяются из условия равновесия балки и вида её опорных закреплений.

Балки могут иметь следующие три типа опор:

• 1. Жёсткое защемление или заделка. Конец балки лишён трёх степеней свободы. Он не может перемещаться ни в вертикальном, ни в горизонтальном направлениях и не имеет возможности поворачиваться. Следовательно, в этой опоре возникают три реакции: две силы R 1 и R 2 , препятствующие линейным смещениям конца балки и один реактивный момент M R , препятствующий повороту.
• 2. Шарнирно-неподвижная опора.

Такая опора лишает балку двух степеней свободы: вертикального и горизонтального смещений, но не препятствует вращению балки вокруг шарнира. Следовательно, в данной опоре возникают две составляющие опорной реакции R 1 и R 2 .

3. Шарнирно-подвижная опора - это наименее жёсткое опирание, она лишает конец балки только одной степени свободы - вертикального линейного перемещения. В шарнирно-подвижной опоре возникает одна реакция.

Следует обратить внимание на то, что данная опора препятствует перемещению конца балки как вниз, так и вверх. Необходимо заметить, что на практике плоскость катания подвижной опоры всегда делают параллельной оси балки. Тогда реакция подвижной опоры должна иметь направление перпендикулярное к оси балки.

Применяя разные виды опор, получаем различные типы балок. Так как балка в плоскости имеет три степени свободы, то для неподвижного закрепления балку необходимо лишить всех трёх степеней свободы.

Первый тип балки - консоль. Консоль имеет на одном конце заделку, отнимающую все три степени свободы, а другой её конец свободный. В заделке возникают: реактивный момент, вертикальная реакция и при наличии горизонтальной или наклонной нагрузки, горизонтальная реакция. Консоль применяется в технике в виде кронштейнов, мачт и т.д.

Второй тип балки - двухопорная балка. Опирание балки в двух точках осуществляется применением одной подвижной и одной неподвижной шарнирных опор, в совокупности отнимающих у балки все три степени свободы. В подвижной опоре возникает только вертикальная реакция, в неподвижной - вертикальная и горизонтальная (при наличии горизонтальных составляющих нагрузок).

Расстояния между опорами называется пролётом. Если одна из опор смещена на некоторое расстояние, то балка называется одноконсольной. Балки перечисляемых типов имеют минимально необходимое число опор, в связи с этим они статически определимы, т.е. их опорные реакции могут быть найдены из уравнения равновесия.

Постановка дополнительных опор делает балку статически неопределимой: расчёт таких балок возможен лишь с учётом их деформаций.

Внутренние силы возникают между отдельными элементами сооружения и между отдельными частями элемента под действием внешних сил. Определение внутренних сил производят методом сечений. Сущность его заключается в том, что тело, находящееся в равновесии (рис.2.1,а ), рассекают мысленно на две части (рис.2.1,б ), отбрасывают одну из частей, заменяя влияние отброшенной части внутренними силами, и составляют уравнения равновесия для оставшейся части, на которую действуют приложенные к ней внешние силы и подлежащие определению внутренние силы, распределенные по сечению.

Обычно плоскость сечения проводится перпендикулярно касательной к оси бруса. Систему внутренних сил можно привести к одной силе R и к одной паре М .Выберем в качестве центра приведения сил центр тяжести сечения 0 и

направим ось Оx правой прямоугольной системы координат перпендикулярно сечению в сторону внешней нормали. Разложим векторы R и M на составляющие (рис. 2.1,в ). Силу N , направленную по касательной к оси стержня, называют продольной силой. Силы Q y и Q z , направленные по нормали к оси стержня, называют поперечными силами. Момент Т относительно оси х называют крутящим. Моменты М y и M z носят название изгибающих. Эти шесть внутренних усилий могут быть найдены из шести уравнений равновесия тела в пространстве, составленных для рассматриваемой части бруса. Уравнения составляются применительно к недеформированному телу, если наблюдаются малые изменения его размеров и формы. Принятие такого допущения значительно упрощает задачу, уравнения становятся линейными, что позволяет пользоваться принципом независимости действия сил (принципом наложения). Последний гласит, что результат совместного воздействия на тело системы сил равен сумме частных результатов воздействия каждой силы в отдельности.

Каждому из внутренних усилий соответствует свой вид деформирования тела: N − растяжение (сжатие), Q y и Q z − сдвиг, Т − кручение, М у и М z − изгиб. Эти деформации, как правило, возникают в различных сочетаниях. Продольная сила считается положительной, если ее направление совпадает с направлением внешней нормали к сечению. Крутящий момент принимается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса со стороны его внешней нормали он представляется направленным по ходу часовой стрелки. Изгибающий момент считается положительным, когда на левом торцe правой части бруса он направлен по ходу часовой стрелки, а на правом торце левой части − против хода часовой стрелки. Поперечная сила положительна, если она стремится вращать отсеченную часть бруса (на которую она действует) по ходу часовой стрелки относительно любой точки на внутренней нормали к сечению. Положительные знаки усилий показаны на рис.2.2.

При определении знаков внутренних усилий в вертикальных брусьях необходимо какой-то конец бруса (нижний или верхний) принимать в качестве левого и отмечать его на чертеже каким-либо значком.

Внутри любого материала имеются внутренние междуатомные силы, наличие которых определяет способность тела воспринимать действующие на него внешние силы, сопротивляться разрушению, изменению формы и размеров. Приложение к телу внешней нагрузки вызывает изменение внутренних сил. В сопротивлении материалов изучаются дополнительные внутренние силы. В сопротивлении материалов они называются просто внутренними силами.

Внутренние силы – силы взаимодействия между отдельными элементами конструкций или между отдельными частями элемента, возникающие под действием внешних сил.

Чтобы численно установить величину внутренних сил пользуются методом сечений.

Метод сечений сводится к четырем действиям:

Рис. 7

Отбрасывают любую отрезанную часть тела (желательно наиболее сложную), а ее действие на оставшуюся часть заменяют внутренними силами, чтобы оставшаяся исследуемая часть находилась в равновесии (рис.8);

Рис. 8

Полученные силы (N, Qy, Qz) (рис. 9) и моменты (Мк, Мy, Mz) называют внутренними силовыми факторами в сечении

Рис. 9

Для внутренних силовых факторов приняты следующие названия:

-продольная или осевая сила;

и-поперечные силы ;

-крутящий момент ;

и
-изгибающие моменты .

Находят внутренние силовые факторы, составляя шесть уравнений равновесия статики для рассматриваемой части рассеченного тела.

Напряжение

Если в сечении выделить бесконечно малую площадку
и предположить, что внутренние силы, приложенные к его различным точкам, одинаковы по величине и направлению, то равнодействующая их
будет проходить через центр тяжести элемента
(рис. 10).

Рис. 10

Проекциями
на оси,ибудут элементарная продольная сила
, и элементарные поперечные силы
и
.

Разделим эти элементарные силы на площадь
, получим величины, называемые напряжениями в точке проведенного сечения.

;
;
,

где - нормальное напряжение;- касательное напряжение.

Напряжение – внутренняя сила, отнесенная к единице площади в данной точке рассматриваемого сечения.

Напряжение измеряется в единицах напряжения - паскалях (Па) и кратных ему – (кПа, МПа)

Иногда кроме нормальных и касательных напряжений рассматривают еще и полное напряжение

Понятие «напряжение » играет очень важную роль в расчетах на прочность. Поэтому значительная часть курса сопротивления материалов отводится изучению способов вычисления напряженийи.

Растяжение и сжатие

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая и сжимающая) а все остальные внутренние силовые факторы равны нулю.

Продольные силы определяются с помощью метода сечений.

Пример

Пусть имеется ступенчатый стержень, нагруженный силами
,
и
вдоль оси стержня, показанного на рис. 11, а. Определить величину продольных сил.

Решение . Стержень может быть разделен на участки по местам приложения нагрузок и по местам изменения поперечного сечения.

Первый участок ограничен точками приложения сил и. Направим ось(начало первого участка). Мысленно рассечем первый участок поперечным сечением на расстоянииот начала первого участка. Причем координатаможет быть взята в интервале
, где- длина первого участка.

;
, кН

Положительный знак продольной силы говорит о том, что первый участок растянут.

Значение продольной силы не зависит от координаты , поэтому на всем участке значение продольной силы постоянно и равно.

Рис. 11

Второй участок ограничен точками приложения сил и. Направим осьвдоль оси участка вверх с началом координат в точке приложения силы(начало второго участка).

Мысленно рассечем второй участок поперечным сечением на расстоянии от начала второго участка. Причем координатаможет быть взята в интервале
, где- длина второго участка.

Рассмотрим равновесие нижней части стержня, заменив действие верхней части на нижнюю часть стержня продольной силой
, предварительно направив ее в сторону растяжения рассматриваемой части.

Из условия равновесия статики:

;

Знак минус говорит о том, что второй участок сжат.

Аналогично для третьего участка:

;

Полученные результаты для большей наглядности удобней представить в виде графика (эпюры N ), показывающего изменение продольной силы вдоль оси стержня. Для этого проводим нулевую (базовую) линию параллельно оси стержня, перпендикулярно которой будем в масштабе откладывать значения осевых усилий (рис.1.11, д). В одну сторону откладываем положительные значения, в другую - отрицательные. Эпюра заштриховывается перпендикулярно нулевой линии, а в нутрии эпюры ставится знак откладываемой величины. Рядом указываются значения откладываемых величин. Рядом с эпюрой в кавычках указывается название эпюры («N») и через запятую - единицы измерения (кН)