некоторых функций. Если восстановить функцию по ее полному дифференциалу, то найдем общий интеграл дифференциального уравнения. Ниже поговорим о методе восстановления функции по ее полному дифференциалу .
Левая часть дифференциального уравнения - это полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0 , если выполняется условие .
Т.к. полный дифференциал функции U(x, y) = 0 это , значит, при выполнении условия утверждают, что .
Тогда, .
Из первого уравнения системы получаем . Функцию находим, воспользовавшись вторым уравнением системы:
Таким образом мы найдем искомую функцию U(x, y) = 0 .
Пример.
Найдем общее решение ДУ .
Решение.
В нашем примере . Условие выполняется, потому что:
Тогда, левая часть начального ДУ является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) = 0 . Нам необходимо найти эту функцию.
Т.к. является полным дифференциалом функции U(x, y) = 0 , значит:
.
Интегрируем по x 1-е уравнение системы и дифференцируем по y результат:
.
Из 2-го уравнения системы получаем . Значит:
Где С - произвольная постоянная.
Т.о., и общим интегралом заданного уравнения будет .
Есть второй метод вычисления функции по ее полному дифференциалу . Он состоит во взятии криволинейного интеграла от фиксированной точки (x 0 , y 0) до точки с переменными координатами (x, y) : . В таком случае значение интеграла не зависимо от пути интегрирования. Удобно брать в качестве пути интегрирования ломаную, звенья которой параллельны осям координат.
Пример.
Найдем общее решение ДУ .
Решение.
Проверяем выполнение условия :
Т.о., левая часть ДУ является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) = 0 . Найдем эту функцию, вычислив криволинейный интеграл от точки (1; 1) до (x, y) . Как путь интегрирования берем ломаную: первый участок ломаной пройдем по прямой y = 1 от точки (1, 1) до(x, 1) , вторым участком пути берем отрезок прямой от точки (x, 1) до (x, y) :
Значит, общее решение ДУ выглядит так: .
Пример.
Определим общее решение ДУ .
Решение.
Т.к. , значит, условие не выполняется, тогда, левая часть ДУ не будет полным дифференциалом функции и нужно использовать второй способ решения (это уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными).
Дифференциальным называется уравнение вида
P (x,y )dx + Q (x,y )dy = 0 ,
где левая часть является полным дифференциалом какой-либо функции двух переменных.
Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении уравнений в полных дифференциалах) через F и скоро вернёмся к ней.
Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом.
Второе - должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Эта проверка является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе этого урока), так процесс поиска функции F достаточно трудоёмкий и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря.
Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через F . Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по определению
dF = P (x,y )dx + Q (x,y )dy .
Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:
Решая два последних равенства, можем записать
.
Первое равенство дифференцируем по переменной "игрек", второе - по переменной "икс":
.
что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой уравнение в полных дифференциалах.
Алгоритм решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Шаг 1. Убедиться, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции F (x, y ) , необходимо и достаточно, чтобы . Иными словами, нужно взять частную производную по x и частную производную по y другого слагаемого и, если эти производные равны, то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Записать систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F :
Шаг 3. Проинтегрировать первое уравнение системы - по x (y F :
,
y
.
Альтернативный вариант (если так интеграл найти проще) - проинтегрировать второе уравнение системы - по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом так же восстанавливается функция F :
,
где - пока неизвестная функция от х
.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцировать по y (в альтернативном варианте - по x ) и приравнять ко второму уравнению системы:
,
а в альтернативном варианте - к первому уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем (в альтернативном варианте )
Шаг 5. Результат шага 4 интегрировать и найти (в альтернативном варианте найти ).
Шаг 6. Результат шага 5 подставить в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием функцию F . Произвольную постоянную C чаще записывают после знака равенства - в правой части уравнения. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Оно, как уже говорилось, имеет вид F (x, y ) = C .
Примеры решений дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Пример 1.
Шаг 1.
уравнением в полных дифференциалах
x
одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по y
другого слагаемого
уравнением в полных дифференциалах
.
Шаг 2. F :
Шаг 3. по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F :
где - пока неизвестная функция от y
.
Шаг 4.
y
.
.
Шаг 5.
Шаг 6.
F
. Произвольную постоянную C
:
.
Какая ошибка возможна здесь с наибольшей вероятностью? Самые распространённые ошибки - принять частный интеграл по одной из переменных за обычный интеграл произведения функций и пытаться интегрировать по частям или заменной переменной а также принять частную производную двух сомножителей за производную произведения функций и искать производную по соответствующей формуле.
Это надо запомнить: при вычислении частного интеграла по одной из переменной другая является константой и выносится за знак интеграла, а при вычислении частной производной по одной из переменной другая также является константой и производная выражения находится как производная "действующей" переменной, умноженной на константу.
Среди уравнений в полных дифференциалах не редкость - примеры с экспонентой. Таков следующий пример. Он же примечателен и тем, что в его решении используется альтернативный вариант.
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
.
Шаг 1.
Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах
. Для
этого находим частную производную по x
одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по y
другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах
.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F :
Шаг 3. Проинтегрируем второе уравнение системы - по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F :
где - пока неизвестная функция от х
.
Шаг 4.
Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по х
и приравняем к первому уравнению системы:
Из полученного уравнения определяем :
.
Шаг 5.
Результат шага 4 интегрируем и находим :
.
Шаг 6.
Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием
функцию F
. Произвольную постоянную C
записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах
:
.
В следующем примере возвращаемся от альтернативного варианта к основному.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение
Шаг 1.
Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах
. Для
этого находим частную производную по y
одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по x
другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах
.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F :
Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы - по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F :
где - пока неизвестная функция от y
.
Шаг 4.
Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y
и приравняем ко второму уравнению системы:
Из полученного уравнения определяем :
.
Шаг 5.
Результат шага 4 интегрируем и находим :
Шаг 6.
Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием
функцию F
. Произвольную постоянную C
записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах
:
.
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение
Шаг 1.
Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах
. Для
этого находим частную производную по y
одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по x
другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F :
Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы - по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F :
где - пока неизвестная функция от y
.
Шаг 4.
Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y
и приравняем ко второму уравнению системы:
Из полученного уравнения определяем :
.
Шаг 5.
Результат шага 4 интегрируем и находим :
Шаг 6.
Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием
функцию F
. Произвольную постоянную C
записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах
:
.
Пример 5. Решить дифференциальное уравнение
.
Шаг 1.
Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах
. Для
этого находим частную производную по y
одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по x
другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах
.
Определение 8.4. Дифференциальное уравнение вида
где
называется
уравнением в полных дифференциалах.
Заметим,
что левая часть такого уравнения есть
полный дифференциал некоторой функции
.
В общем случае, уравнение (8.4) можно представить в виде
Вместо уравнения (8.5) можно рассматривать уравнение
,
решение которого есть
общим интегралом уравнения (8.4). Таким
образом, для решения уравнения (8.4)
необходимо найти функцию
.
В соответствии с определением уравнения
(8.4), имеем
(8.6)
Функцию
будем отыскивать, как функцию,
удовлетворяющую одному из этих условий
(8.6):
где - произвольная функция, не зависящая от.
Функция
определяется так, чтобы выполнялось
второе условие выражения (8.6)
(8.7)
Из
выражения (8.7) и определяется функция
.
Подставляя ее в выражение для
и получают общий интеграл исходного
уравнения.
Задача 8.3. Проинтегрировать уравнение
Здесь
.
Следовательно,
данное уравнение относится к типу
дифференциальных уравнений в полных
дифференциалах. Функцию
будем отыскивать в виде
.
С другой стороны,
.
В
ряде случаев условие
может не выполняться.
Тогда такие уравнения к рассматриваемому типу приводятся умножением на так называемый интегрирующий множитель, который, в общем случае, является функцией только или.
Если у некоторого уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий только от , то он определяется по формуле
где отношение должно быть только функцией.
Аналогично, интегрирующий множитель, зависящий только от , определяется по формуле
где
отношение
должно быть только функцией.
Отсутствие в приведенных соотношениях, в первом случае переменной , а во втором - переменной, являются признаком существования интегрирующего множителя для данного уравнения.
Задача 8.4. Привести данное уравнение к уравнению в полных дифференциалах.
.
Рассмотрим отношение:
.
Тема 8.2. Линейные дифференциальные уравнения
Определение
8.5
. Дифференциальное
уравнение
называется линейным, если оно линейно
относительно искомой функции,
ее производнойи не содержит произведения искомой
функции и ее производной.
Общий вид линейного дифференциального уравнения представляется следующим соотношением:
(8.8)
Если в соотношении (8.8) правая
часть
,
то такое уравнение называется линейным
однородным. В случае, когда правая часть
,
то такое уравнение называется линейным
неоднородным.
Покажем, что уравнение (8.8) интегрируется в квадратурах.
На первом этапе рассмотрим линейное однородное уравнение.
Такое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Действительно,
;
/
Последнее соотношение и определяет общее решение линейного однородного уравнения.
Для
отыскания общего решения линейного
неоднородного уравнения применяется
метод вариации производной постоянной.
Идея метода состоит в том, что общее
решение линейного неоднородного
уравнения в том же виде, что и решение
соответствующего однородного уравнения,
однако произвольная постоянная
заменяется некоторой функцией
,
подлежащей определению. Итак, имеем:
(8.9)
Подставляя
в соотношение (8.8) выражения, соответствующие
и
,
получим
Подставляя последнее выражение в соотношение (8.9), получают общий интеграл линейного неоднородного уравнения.
Таким образом, общее решение линейного неоднородного уравнения определяется двумя квадратурами: общего решения линейного однородного уравнения и частного решения линейного неоднородного уравнения.
Задача
8.5.
Проинтегрировать
уравнение
Таким образом, исходное уравнение относится к типу линейных неоднородных дифференциальных уравнений.
На первом этапе найдем общее решение линейного однородного уравнения.
;
На втором этапе определим общее решение линейного неоднородного уравнения, которое отыскивают в виде-
,
где
- функция, подлежащая определению.
Итак, имеем:
Подставляя соотношения для ив исходное линейное неоднородное уравнение получим:
;
;
.
Общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:
.
В этой теме мы рассмотрим метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, дадим примеры задач с полным разбором решения.
Бывает так, что дифференциальные уравнения (ДУ) вида P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 могут содержать в левых частях полные дифференциалы некоторых функций. Тогда мы можем найти общий интеграл ДУ, если предварительно восстановим функцию по ее полному дифференциалу.
Пример 1
Рассмотрим уравнение P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 . В записи левой его части содержится дифференциал некоторой функции U (x , y) = 0 . Для этого должно выполняться условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .
Полный дифференциал функции U (x , y) = 0 имеет вид d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . С учетом условия ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x получаем:
P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y
∂ U ∂ x = P (x , y) ∂ U ∂ y = Q (x , y)
Преобразовав первое уравнение из полученной системы уравнений, мы можем получить:
U (x , y) = ∫ P (x , y) d x + φ (y)
Функцию φ (y) мы можем найти из второго уравнения полученной ранее системы:
∂ U (x , y) ∂ y = ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x , y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x , y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y
Так мы нашли искомую функцию U (x , y) = 0 .
Пример 2
Найдите для ДУ (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 общее решение.
Решение
P (x , y) = x 2 - y 2 , Q (x , y) = - 2 x y
Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:
∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y
Наше условие выполняется.
На основе вычислений мы можем сделать вывод, что левая часть исходного ДУ является полным дифференциалом некоторой функции U (x , y) = 0 . Нам нужно найти эту функцию.
Так как (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y является полным дифференциалом функции U (x , y) = 0 , то
∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y
Интегрируем по x первое уравнение системы:
U (x , y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)
Теперь дифференцируем по y полученный результат:
∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)
Преобразовав второе уравнение системы, получаем: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Это значит, что
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C
где С – произвольная постоянная.
Получаем: U (x , y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C . Общим интегралом исходного уравнения является x 3 3 - x y 2 + C = 0 .
Разберем еще один метод нахождения функции по известному полному дифференциалу. Он предполагает применение криволинейного интеграла от фиксированной точки (x 0 , y 0) до точки с переменными координатами (x , y) :
U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C
В таких случаях значение интеграла никак не зависит от пути интегрирования. Мы можем взять в качестве пути интегрировании ломаную, звенья которой располагаются параллельно осям координат.
Пример 3
Найдите общее решение дифференциального уравнения (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 .
Решение
Проведем проверку, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:
∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y
Получается, что левая часть дифференциального уравнения представлена полным дифференциалом некоторой функции U (x , y) = 0 . Для того, чтобы найти эту функцию, необходимо вычислить криволинейный интеграл от точки (1 ; 1) до (x , y) . Возьмем в качестве пути интегрирования ломаную, участки которой пройдут по прямой y = 1 от точки (1 , 1) до (x , 1) , а затем от точки (x , 1) до (x , y) :
∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x · 1 - x · 1 2) = x y - x y 2
Мы получили общее решение дифференциального уравнения вида x y - x y 2 + C = 0 .
Пример 4
Определите общее решение дифференциального уравнения y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .
Решение
Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .
Так как ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x , то условие выполняться не будет. Это значит, что левая часть дифференциального уравнения не является полным дифференциалом функции. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и для его решения подходят другие способы решения.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Постановка задачи в двумерном случае
Восстановление функции нескольких переменных по ее полному дифференциалу
9.1. Постановка задачи в двумерном случае. 72
9.2. Описание решения. 72
Это одно из приложений криволинейного интеграла II рода.
Дано выражение полного дифференциала функции двух переменных:
Найти функцию .
1. Так как не всякое выражение вида является полным дифференциалом некоторой функции U (x ,y ), то необходимо проверить корректность постановки задачи, то есть проверить необходимое и достаточное условие полного дифференциала, которое для функции 2-х переменных имеет вид . Это условие следует из эквивалентности утверждений (2) и (3) в теореме предыдущего параграфа. Если обозначенное условие выполнено, то задача имеет решение, то есть функцию U (x ,y ) восстановить можно; если условие не выполнено, то задача не имеет решения, то есть функцию восстановить нельзя.
2. Найти функцию по ее полному дифференциалу можно, например, с помощью криволинейного интеграла II рода, вычислив его от по линии, соединяющей фиксированную точку (x 0 ,y 0) и переменную точку (x;y ) (Рис. 18 ):
Таким образом получено, что криволинейный интеграл II рода от полного дифференциала dU (x ,y ) равен разности значений функции U (x ,y ) в конечной и начальной точках линии интегрирования.
Зная теперь этот результат, нужно подставить вместо dU в криволинейный интеграл выражение и провести вычисление интеграла по ломаной (ACB ), учитывая его независимость от формы линии интегрирования:
на (AC ): на (СВ ) :
(1) |
Таким образом, получена формула, с помощью которой восстанавливается функция 2-х переменных по ее полному дифференциалу .
3. Восстановить функцию по ее полному дифференциалу можно только с точностью до постоянного слагаемого, так как d (U + const) = dU . Поэтому в результате решения задачи получаем множество функций, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое.
Примеры (восстановление функции двух переменных по ее полному дифференциалу)
1. Найти U (x ,y ), если dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy .
Проверяем условие полного дифференциала функции двух переменных:
Условие полного дифференциала выполнено, значит, функцию U (x ,y ) восстановить можно.
Проверка: – верно.
Ответ: U (x ,y ) = x 3 /3 – xy 2 + C .
2. Найти функцию , такую что
Проверяем необходимые и достаточные условия полного дифференциала функции трех переменных: , , , если дано выражение .
В решаемой задаче
все условия полного дифференциала выполнены, следовательно, функцию восстановить можно (задача поставлена корректно).
Будем восстанавливать функцию с помощью криволинейного интеграла II рода, вычислив его по некоторой линии, соединяющей фиксированную точку и переменную точку , так как
(это равенство выводится так же, как и в двумерном случае).
С другой стороны, криволинейный интеграл II рода от полного дифференциала не зависит от формы линии интегрирования, поэтому его проще всего считать по ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат. При этом в качестве фиксированной точки можно взять для просто ты взять точку с конкретными числовыми координатами, отслеживая лишь только, чтобы в этой точке и на всей линии интегрирования выполнилось условие существования криволинейного интеграла (то есть чтобы функции , и были непрерывными). С учетом этого замечания в данной задаче можно взять фиксированной точкой, например, точку М 0 . Тогда на каждой из звеньев ломаной будем иметь
10.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода. 79
10.3. Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода. 81