Дифференциальным уравнением Бесселя называется уравнение вида где и - действительное число. Это уравнение имеет особую точку z = 0 (коэффициент при старшей производной в (7) обращается в нуль при х = 0). Сравнивая (5) и (7), заключаем, что для уравнения Бесселя так что х = 0 является нулем второго порядка (т = 2) функции Ро(х), нулем первого порядка функции р\(х) и не является нулем функции pi(x) (если v Ф 0). Поэтому в силу теоремы 17 существует решение уравнения (7) в виде обобщенного степенного ряда где а - характеристический показатель, подлежащий определению. Перепишем выражение (8) в виде Уравнение Функции Бесселя Дифференциальное уравнение Г-функция Эйлера и ее свойства Рекуррентные формулы для функций Бесселя полуцелого индекса Нули бесселевых функций Ортогональность и норма Функции Неймана (Вебера) и найдем производные: Подставим эти выражения в уравнение (7), и приравнивая нулю коэффициенты при х в степени получим систему уравнений то из первого уравнения (9) следует, что, или Теперь из второго уравнения (9) будем иметь Рассмотрим сначала случай. Перепишем уравнение системы (9) в виде откуда получаем рекуррентную формулу для определения ак через ак-2".) Учитывая, что получаем отсюда а3 = 0 и вообще С другой стороны, каждый четный коэффициент может быть выражен через предыдущий по формуле Последовательное применение этой формулы позволяет найти выражение а2т через ао: Подставим найденные значения коэффициентов в формулу (8), (10) Нетрудно проверить, что ряд в правой части (10) сходится на полуоси х > 0 и определяет там функцию (я) - частное решение уравнения Бесселя. Рассмотрим теперь второй случай, когда а = -и. Если v не равно положительному целому числу, то можно написать второе частное решение, которое получается из выражения (10) заменой v на -v (в уравнение (7) v входит четным образом), («О (Если и равно целому положительному числу, то решение (101) теряет силу, так как начиная с некоторого числа один из множителей в знаменателе членов разложения (1(У) будет равен нулю.) Ряд в правой части (10") также сходится при всех значениях х > 0. Решения yi (ж) и у2(х) линейно независимы. Действительно, их отношение не является постоянным. 12.2. Г-функция Эйлера и ее свойства Для дальнейшего нам понадобятся некоторые свойства Г -функции Эйлера. Она определяется следующим образом: Интегрированием по частям получаем основное функциональное уравнение для Г-функции: Так как и вообще Можно показать еще, что С помощью функционального уравнения (11) можно определить гамма-функцию для отрицательных значений аргумента. Записав уравнение (11) в виде Г(р) = , замечаем, что для малых р выполняется соотношение Г(р) ~ £. Аналогично, если m - положительное целое число, то для значений р, близких к числу -ш, имеем Можно показать, что Г(р) Ф 0 при всяком р, поэтому функция щ будет непрерывной для всех значений р, если положить Возвратимся к решению уравнения Бесселя (7). Коэффициент oq до сих пор оставался произвольным. Если v Ф -п, где п > 0 - целое число, то, полагая найдем Подставляя это выражение для коэффициентов в (9), получаем Ряд (12) определяет функцию которая является решением уравнения Бесселя и называется функцией Бесселя первого рода и -го порядка. Ряд отвечает случаю а = -и (и - нецелое) и определяет второе решение уравнения (7), линейно независимое с функцией Итак, если v не равно целому числу (, то функции Jv(x) и J-v(x) образуют фундаментальную систему решений уравнения Бесселя (7) и его общее решение имеет в этом случае вид При v целом выполняется линейная зависимость В самом деле, имеем Первые п членов ряда исчезают, так как а = 1. Введя обозначение т = к + п, находим Выпишем ряды для функций Бесселя первого рода нулевого (п = 0) и первого (n = 1) порядков: Функции Jb(x) и J\ (ж) (рис. 4) часто встречаются в приложениях, и для них имеются подробные таблицы. 12.4. Рекуррентные формулы для функций Бесселя Используя формулу непосредственно проверкой убеждаемся в том, что Точно таким же вычислением находим Раскрывая в левых частях формул (15) и (16) производные произведений, получаем соответственно равенства Складывая и вычитая (17) и (18), получим две важные рекуррентные формулы: Формула (19) показывает, что производные функций Бесселя выражаются через бесселевы же функции. Из формулы (20) вытекает, что, зная Jv{x) и Jv-\(x), можно найти (/1/+\(х). В частности, все функции Бесселя целых номеров выражаются через две функции Jo (ж) и J\{x)- Здесь оказывается полезным соотношение (14). При1/ = 1 из (20) находим, например, 12.5. Функции Бесселя полуцелого индекса Рассмотрим специальный класс бесселевых функций с индексом, равным половине нечетного целого числа. Этот класс встречается в приложениях и замечателен тем, что в рассматриваемом случае бесселевы функции могут быть выражены через элементарные. Так, при и = I путем несложных преобразований находим Аналогично, при получаем Обе эти формулы можно записать в виде Уравнение Функции Бесселя Дифференциальное уравнение Г-функция Эйлера и ее свойства Рекуррентные формулы для функций Бесселя полуцелого индекса Нули бесселевых функций Ортогональность и норма Функции Неймана (Вебера) 12.6. Нули бесселевых функций При решении многих прикладных вопросов необходимо иметь представление о распределении нулей функций Бесселя. Нули функций и J-x^x) совпадают с нулями sin х и cos х соответственно. Можно показать, что для больших значений х имеет место асимптотическое представление1* (сравните справедливое как для целых, так и для дробных v. Формула (22) показывает, как ведет себя функция Бесселя при возрастании аргумента. Это колеблющаяся функция, бесчисленное множество раз обращающаяся в нуль, причем амплитуда колебаний стремится к нулю при х -» +оо. Распределение нулей функции Бесселя с целым положительным индексом, т. е. корней уравнения устанавливается следующей теоремой. Теорема 18. Функция не имеет комплексных нулей, но имеет бесконечное множество действительных нулей, расположенных симметрично относительно точки х = 0, которая в случае п = 1,2,... принадлежит к их числу. Все нули функции простые за исключением точки х = 0, которая при п = 1,2,... является нулем кратности п соответственно. 12.7. Ортогональность и норма функций Бесселя Ортогональность функций Бесселя Рассмотрим дифференциальное уравнение где А - некоторый числовой параметр, отличный от нуля. Нетрудно проверить, что уравнению (23) удовлетворяет функция Бесселя Jv(\x). Перепишем уравнение (23) в виде и обозначим - какие-либо значения параметра А. Тогда будем иметь тождества Умножая первое тождество на), второе -) и вычитая одно из другого, получим Умножив все члены последнего тождества на ж, замечаем, что его можно записать в виде Интегрируя последнее тождество по ж в пределах от 0 до 1, будем иметь равенства (25) следует, что если Ai, Аг есть нули функции то левая часть (25), а значит, и правая, равны нулю, так что Это означает, согласно определению, что функции ортогональны с весом р(х) = х на отрезке с весом р 3. Пусть А|, Аг являются корнями уравнения где h - некоторое фиксированное число. Уравнение (28) встречается в математической физике и при v > -1 имеет бесконечное множество положительных корней, но не имеет комплексных корней (исключая случай, когда есть два чисто мнимых корня). Записав левую часть равенства (25) в виде убеждаемся в ортогональности бесселевых функций по нулям линейной комбинации хJu(x) - hji,(x) = 0 функции Бесселя и ее производной: где - корни уравнения (28). Норма функций Бесселя Величина 12.8. Функции Неймана (Вебера) Всякое нетривиальное решение уравнения Бесселя называют цилиндрической функцией. При v нецелом функции образуют функциональную систему решений уравнения Бесселя (7). При и = п - целом имеет место линейная зависимость Чтобы к решению Jr\x) подыскать такое, которое ему не пропорционально, поступаем так: при нецелом и составляем функцию Она является линейной комбинацией решений линейного однородного уравнения (7) и, следовательно, сама есть решение этого уравнения. Переходя в (30) к пределу при v -» п и пользуясь правилом Лопиталя, будем иметь Характерное свойство функций J/y\(х) (функций Бесселя 2-го рода) - наличие особенности в начале координат (рис. 5) Найденное решение уравнения Бес- селя (7) при v = п вместе с Jn(x) составляет фундаментальную систему решений уравнения Уравнение Функции Бесселя Дифференциальное уравнение Г-функция Эйлера и ее свойства Рекуррентные формулы для функций Бесселя полуцелого индекса Нули бесселевых функций Ортогональность и норма Функции Неймана (Вебера) Функцию.Л£(ж) называют также функцией Неймана или функцией Вебера. При достаточно больших х Таким образом, на больших расстояниях от начала координат цилиндрические функции 1 -го и 2-го рода относятся друг к другу как косинус и синус, но затухают с ростом х благодаря множителю Эти функции удобны для представления стоячих цилиндрических волн. По аналогии с показательными функциями (формулы Эйлера) можно построить линейную комбинацию функций Jv(x) и дающую функции, связанные с бе- гущими волнами. Так мы приходим к бесселевым функциям 3-го рода или функциям Ханкеля, определяемым соотношениями Упражнения Найдите общее решение уравнений: Найдите решение задачи Коши: Проинтегрируйте уравнения, найдя, где указано, частные решения: Найдите общие решения следующих линейных неоднородных дифференциальных уравне- Виды частных решений неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами для различных правых частей Правая часть*) дифференциальных уравнений Корни характеристического уравнения Виды частного решения 1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения Число 0 - корень характеристического уравнения кратности г 2. Число а не является корнем характеристического уравнения Число а является корнем характеристического уравнения кратности г 3. Числа ±»"/3 не являются корнями характеристического уравнения Числа ±«/9 являются корнями характеристического уравнения кратности г 4. Числа а ± i/З не являются корнями характеристического уравнения Числа a ± i/З являются корнями характеристического уравнения кратности г *) Первые три вида правых частей являются частными случаями четвертого. Укажите вид частных решений следующих линейных неоднородных уравнений: Методом вариации постоянных проинтегрируйте следующие уравнения: Проинтегрируйте следующие уравнения Эйлера: Ответы
ФункциЯ Бесселя первого рода
Описывает радиальную зависимость в задачах колебаний, волн, теплопроводности, диффузии, теории потенциала.
При 
функция Бесселя называется цилиндрической функцией
. В цилиндрических координатах является фурье-образомn
-ого порядка по угловой переменной для гармонической волны.
Множество с одинаковым μ образует ортонормированный базис с непрерывным спектром по параметру .
исследовал Даниил Бернулли в 1732 г.
ввел Леонард Эйлер в 1764 г.
Фридрих Вильгельм Бессель составил таблицы J 0 , J 1 , J 2 для описания движения планет в 1824 г.
Название функциям дал Оскар Шлемильх в 1857 г.
Даниил Бернулли (1700–1782) Леонард Эйлер (1707–1783)
Фридрих Вильгельм Бессель (1784–1846)
Бессель – профессор Кенигсбергского университета, самостоятельно изучил математику и астрономию, в гимназии и в университете не учился. Исследовал комету Галлея, основал обсерваторию в Кёнигсберге, измерил расстояния до звезд по их параллаксам, провел геодезическую съемку территории Восточной Пруссии . Его именем назван кратер на Луне .
Уравнения Бесселя и Ломмеля
Функция Бесселя является частным решениемуравнения Бесселя
. (8.1)
Для расширения области применимости уравнения Бесселя усложняем его заменой аргумента и функции, и вводим новые параметры . Это дает уравнение Ломмеля
. (8.2)
Подстановка в (8.2)
преобразует (8.2) в (8.1) с аргументом z . При , уравнение (8.2) переходит в (8.1).
В уравнениях (8.1) и (8.2) величина μ имеет вторую степень, поэтому общее решение (8.2) содержит независимые слагаемые, отличающиеся знаком μ:
Уравнение получил Евгений Ломмель (1837–1899) в 1868 г.
Интегральное представление Пуассона
Решение уравнения (8.1) методом факторизации дает интегральное представление Пуассона
, (8.5)
где использована формула Эйлера
,
и учтена четность функций косинуса и синуса.
Заменяем
, 
,
. (8.6)
Из (8.6) при получаем
, (8.7)
.
Выполняется нормировка
Симеон Дени Пуассон (1781–1840)
Пуассон – математик, механик, физик, профессор Парижского университета, окончил Политехническую школу в Париже. Ввел понятие потенциала в электростатику и получил «дифференциальное уравнение Пуассона », связывающее потенциал системы зарядов с их распределением в пространстве. Для случайной величины доказал «распределение Пуассона ». Установил связь между продольной и поперечной деформациями тела – «коэффициент Пуассона ». Вычислил «интеграл Пуассона », доказал «формулу суммирования Пуассона ». В механике ввел «скобки Пуассона » – перестановочные соотношения для величин. Наполеон возвел его в бароны, Луи-Филипп сделал пэром Франции. Цитата – «Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием» .
В частности
Предел x ® 0
Главный вклад в (8.9) при вносит
,
, (8.11)
Предел x ® ¥
Используем уравнение Ломмеля (8.2) и его решение (8.3)
,  |
с параметрами , :
,
.
Выражаем функцию Бесселя
.
При получаем уравнение
Находим общее решение
.
В результате
. (8.12)
При функция периодически проходит через нуль, амплитуда колебаний уменьшается .
Детальный анализ дает значения a и A
,
. (8.12а)
Нули функции Бесселя
,
где m – порядковый номер нуля. Для J 0 и J 1 числовой расчет дает
x 0,1 = 2,405; x 0,2 = 5,520; x 0,3 = 8,654; …
x 1,1 = 3,832; x 1,2 = 7,016; x 1,3 = 10,174 …
Нормировка
Выполняется
, (8.14)
. (8.14а)
Доказательство :
Рекуррентное соотношение, которое будет получено далее:
интегрируем по интервалу
, ,
где использовано
, (8.11)
. (8.12а)
Следовательно,
Не зависит от m. Полагаем , учитываем соотношение, которое будет получено в дальнейшем:
и получаем
.
Площадь под кривой функции Бесселя произвольного порядка равна единице .
Производящая функция
К интегральному представлению Зоммерфельда (8.16)
 ,
|
,
применяем обратное преобразование Фурье (1.48)
 .
|
Получаем разложение Фурье по угловой переменной для плоской волны, движущейся под углом φ к оси x :
(8.26)
В (8.26) заменяем
,
находим производящую функцию
. (8.27)
Ряды функций Бесселя
(8.26)
выделяем вещественную и мнимую части
,
.
Учитываем (8.22)
,
получаем
, (8.28)
. (8.29)
При из (8.28) получаем
. (8.30)
(8.26)
заменяем 
, (8.31)
где учтено
,
.
В (8.31) выделяем вещественную и мнимую части
, (8.32)
, (8.33)
где учтено
.
При из (8.32) и (8.33)
, (8.34)
. (8.35)
Рекуррентные соотношения
1. Производящую функцию (8.27)
дифференцируем по x
,
.
Сравниваем коэффициенты при
.
Обобщаем на случай произвольного порядка
Замена x на bx дает
. (8.36а)
2. Производящую функцию (8.27)
дифференцируем по t
,
.
Сравниваем коэффициенты при
.
Для произвольного порядка
. (8.37)
3. Складываем и вычитаем (8.37) и
, (8.38)
. (8.39)
4. Умножаем (8.38) на и сворачиваем правую сторону
. (8.40)
5. Симметризуем (8.40)
.
По индукции
. (8.41)
6. Умножая (8.39) на и сворачиваем правую сторону
получаем
. (8.42)
7. Симметризуем (8.42)
.
По индукции
. (8.43)
Частные соотношения
(8.39)
. (8.44)
Из (8.36)–(8.44):
,
,
,
,
,
,
,
,
,
. (8.46)
Условие ортонормированности
образует непрерывный базис с условием ортонормированности
, . (8.48)
Доказательство :
Записываем уравнение Ломмеля
, (8.2)
, (8.3)
при , , и для функций и
,
.
Умножаем первое равенство на xv , второе – на xu и вычитаем результаты
Преобразуем левую сторону
Интегрируем по x от 0 до ∞
. (8.47)
Левая сторона на нижнем пределе дает нуль. На верхнем пределе используем (8.12а)
,
,
.
В результате
.
Учитываем
,
Для нахождения интегрируем равенство по р от 0 до ∞, меняем порядок интегрирований, и используем условие нормировки
. (8.14)
Получаем
, ,
и доказано (6.48).
При не нулевой вклад в
, . (8.48)
дает только и , тогда
, . (8.49)
Доказательство :
Умножаем (8.49) на , где , и интегрируем по k от 0 до ∞
.
Меняем порядок интегрирований и учитываем
,
.
Внутренний интеграл дает (8.48)
,
и получаем тождество.
Графики
,
Сферическая функция Бесселя
, (8.57)
Функция описывает в сферических координатах радиальную зависимость волны с орбитальным моментом l и с волновым числом k .
Набор при образует ортонормированный базис с непрерывным спектром .
Дифференциальное уравнение
Уравнения для и совпадают, тогда выполняется
Явный вид функции
Используем (8.57)
| |
 |
после замены .
В результате сферическая функция Бесселя
. (8.59)
Свойство четности
Из (8.59) получаем
. (8.61)
Функции низших порядков
Из (8.59) получаем
,
,
. (8.62)
Предел x ® ¥
Используем
(8.12а)
. (8.63)
, (8.57)
получаем
,
. (8.64)
Предел x ® 0
, (8.11)
Подставляем в (8.57)
при . Из (8.57)
| |
выражаем
,
,
получаем условие ортонормированности
, . (8.66)
2. При не нулевой вклад в (8.66) дает только , используя , находим
, . (8.67)
Доказательство :
Обе стороны (8.67) умножаем на , где , и интегрируем по интервалу . В левой стороне меняем порядок интегрирований и используем (8.66)
Правая сторона дает тот же результат
,
где учтено
.
, , (8.67)
(8.62)
. (8.68)
Рекуррентные соотношения
1. Подставляем (8.57)
при . Получаем
Из (8.70) выражаем
,
подставляем в последнее равенство, и получаем
. (8.71)
3. Выполняются соотношения
, (8.72)
, (8.74)
. (8.75)
Функция Эйри первого рода
Описывает:
– состояние квантовой частицы в однородном поле,
– состояние частицы в треугольной потенциальной яме,
– состояние частицы вблизи точки поворота классического движения.
Функцию ввел английский астроном Эйри в 1838 г. при исследовании дифракции света.
Сэр Джордж Биддель Эйри (1801–1892)
Директор Гринвичской обсерватории, президент Лондонского королевского общества. Разработал теорию дифракции света на объективе телескопа. Центральное светлое пятно в центре картины дифракции на круглом отверстии называется «диск Эйри ».
Уравнение Эйри
Функция Эйри является частным решением (8.76).
Связь с функцией Бесселя
Сравниваем (8.76) с уравнением Ломмеля
| ,
|
Общее решение
| , |
Мнимый аргумент усложняет анализ, ищем другой путь решения.
В области отрицательного аргумента уравнение (8.76) получает вид
Совпадает с уравнением Ломмеля с параметрами
Получаем общее решение
Функция Эйри первого рода
Является частным решением (8.79) с коэффициентами
Условия нормировки
При малом аргументе учитываем (8.11)
| ,
|
из (8.80) находим
первое слагаемое дает нуль. Нормировка
. (8.81)
Интегральная нормировка
(8.82)
следует из (8.84). Выполняется
,
. (8.82а)
Доказательство (8.82а):
При используем (8.80) и заменяем
,
. (8.14).
Интегральное представление
Получим функцию Эйри положительного аргумента путем решения уравнения Эйри методом Фурье-преобразования.
Используем
, (1.35)
. (1.37)
.
состояния с проекцией орбитального момента 2. Переходим к полярным координатам
определяем
Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми , являются решения, конечные в точке при целых или неотрицательных . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых ):
Здесь - это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.
Ниже приведены графики для :
Если не является целым числом, функции и линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если целое, то верно следующее соотношение:
5. Вычисление спектра амплитуд и фаз периодических сигналов с помощью процедуры БПФ;
Есть файл в маткаде
Спектр мощности соответствует мощности, рассчитанной как квадрат амплитуды для каждой частоты, но не имеет никакой информации о начальной фазе. Поскольку спектр мощности теряет информацию о начальной фазе, можно попытаться использовать БПФ, чтобы определить и частоту, и информацию о фазе сигнала.
Информация о начальной фазе, которую БПФ обеспечивает, есть фаза относительно начала отсчета сигнала в области времени. Поэтому необходимо начинать выборку от некоторого момента в сигнале, чтобы получить непротиворечивые
сведения о начальной фазе. Колебание по закону синуса имеет начальную фазу, равную - 90°. Колебание по закону косинуса имеет начальную фазу, равную 0°. Обычно основным интересом для анализа спектра сигнала представляет измерение разности фаз между составляющими спектра или разности фаз между двумя гармоническими колебаниями, полученными одновременно. Можно рассмотреть разность фаз между двумя сигналами, используя некоторые из расширенных функций БПФ.
В результате БПФ получают двусторонний спектр в комплексной форме с реальными и мнимыми частями. Необходимо масштабировать и преобразовать двусторонний спектр в полярную форму, чтобы получить амплитуду и фазу каждой гармонической составляющей сигнала. Ось частоты полярной формы идентична оси частоты двустороннего спектра мощности.
Часто ДПФ применяется для наблюдения и анализа спектра сигнала.
При этомчасто наиболее интересными являются лишь амплитуды Ck отдельных гармоник, а не их фазы. В этом случае спектр обычно отображается в виде графика зависимости амплитуды от частоты (рис.2). Часто шкала частот градуируется в децибелах. Децибелы измеряют не сами амплитуды, а их отношения. Напри- мер, разница на 20 дБ означает различие амплитуд в 10 раз, разница на 40 дБ означает отношение амплитуд в 100 раз. Различию амплитуд в 2 раза отвечает разница примерно на 6 дБ. Формула для вычисления разницы в децибелах та-кова:
Шкала частот также часто градуируется в логарифмическом масштабе.
Перед вычислением спектра сигнала нужно выбрать отрезок сигнала, на кото- ром будет вычисляться спектр. Длина отрезка должна быть степенью двойки (для работы БПФ). Иначе сигнал надо дополнить нулями до нужной длины. После этого к выбранному участку сигнала применяют БПФ. Коэффициенты
При вычислении спектра указанным образом возможен следующий нежела- тельный эффект. При разложении функции в ряд Фурье мы полагаем, что функция периодическая, с периодом, равным размеру БПФ. Вычисляется спектр именно такой функции (а не той, из которой мы извлекли кусок). При этом на границах периодов такая функция наверняка будет иметь разрывы (ведь исходная функция не была периодической). А разрывы в функции сильно отражаются на ее спектре, искажая его.
Для устранения этого эффекта применяются так называемые взвешивающие окна. Они плавно сводят на нет функцию вблизи краев анализируемого участ- ка. Весовые окна имеют форму, похожую на гауссиан. Выбранный для анализа участок сигнала домножается на весовое окно, которое устраняет разрывы функции при «зацикливании» данного участка сигнала. Виртуальное «зацикли- вание» происходит при ДПФ, так как алгоритм ДПФ полагает, что функция пе- риодическая. Существует множество весовых окон, названных в честь их соз- дателей. Все они имеют похожую форму и в значительной степени устраняют рассмотренные искажения спектра. Мы приведем формулы двух хороших окон: Хэмминга (Hamming window) и Блэкмана (Blackman window) (рис. 1):
Здесь окно применяется к сигналу с индексами от 0 до N. Окно Хэмминга наи- более часто используется. Окно Блэкмана обладает более сильным действием по устранению рассмотренных искажений, однако имеет свои недостатки.
Рис. 1 Взвешивающие окна Хэмминга (верхнее) и Блэкмана (нижнее).
Важное свойство спектрального анализа заключается в том, что не существует одного, единственно правильного спектра какого-либо сигнала. Спектр можно вычислять с применением различных размеров БПФ и различных весовых окон. Для каждого конкретного приложения предпочтительно использовать свои способы. От выбора размера БПФ зависит разрешение спектра по частоте и по времени. Если выбрать длинный участок сигнала для разложения в спектр, то мы получим хорошее разрешение по частоте, но плохое по времени (т.к. спектр будет отражать усредненное поведение сигнала на всем участке взятия БПФ). Если для разложения в спектр выбрать короткий участок сигнала, то мы получим более точную локализацию по времени, но плохое разрешение по час- тоте (т.к. в преобразовании Фурье будет слишком мало базисных частот). В этом заключается фундаментальный принцип соотношения неопределенно- стей при вычислении спектра: невозможно одновременно получить хорошее разрешение спектра и по частоте, и по времени: эти разрешения обратно про- порциональны.
Еще одно важное свойство спектрального анализа заключается в том, что при разложении в спектр мы находим не те синусоидальные составляющие, из ко- торых состоял исходный сигнал, а лишь находим, с какими амплитудами нуж- но взять определенные кратные частоты, чтобы получить исходный сигнал. Другими словами, разложение проводится не по «частотам исходного сигна- ла», а по «базисным частотам алгоритма БПФ». Однако обычно (особенно при использовании весовых окон) этого почти не заметно по графику спектра, то есть график спектра достаточно адекватно отображает именно частоты исход- ного сигнала.
Рис. 2. Фрагменты различных сигналов (около 800 точек) и спектры более длинных отрезков этих сигналов (4096 точек). Сверху вниз: нота на форте- пиано, голос (пение), барабан (бочка), тарелка (открытый хэт).
6. Вычисление спектральной плотности импульсных сигналов с помощью БПФ
БЕССЕЛЯ ФУНКЦИИ, цилиндрические функции 1-го рода; используются при изучении физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний и пр.), рассматриваемых в областях с круговой и цилиндрической симметрией. Бесселя функции являются решениями Бесселя уравнения.
Бесселя функции J p порядка (индекса) р, -∞<р<∞, представляется сходящимся при всех Х рядом
где Г - гамма-функция. График J p (х) при х > 0 представляет собой кривую с затухающими колебаниями; J p (х) имеет бесконечное множество нулей; первые слагаемые ряда дают асимптотику J p (х) при малых |х|, при больших х>0 справедливо асимптотическое представление
Бесселя функции порядка р = n + 1/2, где n - целое число, выражаются через элементарные функции; в частности,
µ n p - положительные корни уравнения J p (х) = 0, р > - 1/2, l - некоторое положительное число, образуют ортогональную с весом х систему на интервале (0, l).
Функция J 0 была впервые исследована Д. Бернулли в работе, посвящённой колебаниям тяжёлых цепей (1732). Л. Эйлер, рассматривая задачу о колебаниях круглой мембраны (1738), пришёл к уравнению Бесселя с целыми значениями р = n и нашёл выражение J n (х) в виде ряда по степеням х, позднее он распространил это выражение на случай произвольных значений р. Ф. Бессель в связи с изучением движения планет вокруг Солнца исследовал (1824) функции J p (х) и составил первые таблицы для J 0 (х), J 1 (х).
Лит.: Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. М., 1949. Ч. 1-2; Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. 2-е изд. М.; Л., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М., 1974.
Введение
Цилиндрическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения второго порядка
где - комплексное переменное,
Параметр, который может принимать любые вещественные или комплексные значения.
Термин «цилиндрические функции» обязан своим происхождением тому обстоятельству, что уравнение (1) встречается при рассмотрении краевых задач теории потенциала для цилиндрической области.
Специальные классы цилиндрических функций известны в литературе под названием функций Бесселя, и иногда это наименование присваивается всему классу цилиндрических функций.
Хорошо разработанная теория рассматриваемых функций, наличие подробных таблиц и широкая область применений служат достаточным основанием для того, чтобы отнести цилиндрические функции к числу наиболее важных специальных функций.
Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:
1) электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
2) теплопроводность в цилиндрических объектах;
3) формы колебания тонкой круглой мембраны;
4) скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.
Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.
Цилиндрические функции Бесселя являются самыми распространенными из всех специальных функций. Они имеют многочисленные приложения во всех естественных и технических науках (особенно в астрономии, механике и физике). В ряде задач математической физики встречаются цилиндрические функции, в которых аргумент или индекс (иногда и тот и другой) принимают комплексные значения. Для численного решения таких задач необходимо разработать алгоритмы, позволяющие вычислять функции Бесселя с высокой точностью.
Цель курсовой работы: изучение функций Бесселя и применение их свойств в решении дифференциальных уравнений.
1) Изучить уравнение Бесселя и модифицированное уравнение Бесселя.
2) Рассмотреть основные свойства функций Бесселя, асимптотические представления.
3) Решить дифференциальное уравнение с использованием функции Бесселя.
Функции Бесселя с целым положительным значком
Для рассмотрения многих проблем, связанных с применением цилиндрических функций, достаточно ограничиться изучением специального класса этих функций, который соответствует случаю, когда параметр в уравнении (1) равен нулю или целому положительному числу.
Исследование данного класса носит более элементарный характер, чем теория, относящаяся к произвольным значениям, и может служить хорошим введением в эту общую теорию.
Покажем, что одним из решений уравнения
0, 1, 2, …, (1.1)
является функция Бесселя первого рода порядка, которая для любых значений определяется как сумма ряда
При помощи признака Даламбера легко убедиться, что рассматриваемый ряд сходится на всей плоскости комплексного переменного и, следовательно, представляет целую функцию от.
Если обозначить левую часть уравнения (1.1) через и ввести сокращенную запись коэффициентов ряда (1.2), положив
то в результате подстановки получим
откуда следует так как выражение в фигурных скобках равно нулю. Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (1.1), т. е. представляет собой цилиндрическую функцию.
Простейшими функциями рассматриваемого класса являются функции Бесселя порядка нуль и единица:
Покажем, что функции Бесселя других порядков могут быть выражены через эти две функции. Для доказательства предположим, что а -- целое положительное число, умножим ряд (1.2) на и продифференцируем по. Мы получим тогда
Аналогичным образом, умножая ряд на находим
Выполнив дифференцирование в равенствах (1.4 - 1.1) и разделив на множитель, приходим к формулам:
откуда непосредственно следует:
Полученные формулы известны под названием рекуррентных соотношений для функций Бесселя.
Первое из соотношений дает возможность выразить функцию произвольного порядка через функции порядков нуль и единица, что существенным образом сокращает работу по составлению таблиц функций Бесселя.
Второе соотношение позволяет представить производные от функций Бесселя через функции Бесселя. Для это соотношение должно быть заменено формулой
непосредственно вытекающей из определения данных функций.
Функции Бесселя первого рода просто связаны с коэффициентами разложения функции в ряд Лорана ):
Коэффициенты этого разложения могут быть вычислены путем перемножения степенных рядов:
и объединения членов, содержащих одинаковые степени. Выполнив это, получим:
откуда следует, что рассматриваемое разложение может быть записано в виде
Функция называется производящей функцией для функций Бесселя с целым значком; найденное соотношение (1.12) играет важную роль в теории этих функций.
Для получения общего интеграла уравнения (1.1), дающего выражение произвольной цилиндрической функции с целым значком, необходимо построить второе решение уравнения, линейно независимое с. В качестве такого решения может быть взята функция Бесселя второго рода, исходя из определения которой нетрудно получить для аналитическое выражение в виде ряда
(- постоянная Эйлера) и, в случае, первую из сумм надлежит положить равной нулю.
Функция регулярна в плоскости с разрезом. Существенная особенность рассматриваемого решения состоит в том, что оно обращается в бесконечность, когда. Общее выражение цилиндрической функции для представляет линейную комбинацию построенных решений
где и - произвольные постоянные,
Загрузка...