(Остроградский Михаил Васильевич (1861-1862) – русский математик,
академик Петерб. А. Н.)
(Джордж Грин (1793 – 1841) – английский математик)
Иногда эту формулу называют формулой Грина, однако, Дж. Грин предложил в 1828 году только частный случай формулы.
Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т. е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.
Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:
Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кривые, то, проведя аналогичные преобразования, получим формулу для контура произвольной формы:
Эта формула называется Формулой Остроградского – Грина .
Формула Остроградского – Грина справедлива и в случае многосвязной области, т. е. области, внутри которой есть исключенные участки. В этом случае правая часть формулы будет представлять собой сумму интегралов по внешнему контуру области и интегралов по контурам всех исключенных участков, причем каждый из этих контуров интегрируется в таком направлении, чтобы область D все время оставалась по левую сторону линии обхода.
Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского – Грина.
Формула Остроградского – Грина позволяет значительно упростить вычисление криволинейного интеграла.
Криволинейный интеграл не зависит от формы пути, если он вдоль всех путей, соединяющих начальную и конечную точку, имеет одну и ту же величину.
Условием независимости криволинейного интеграла от формы пути равносильно равенству нулю этого интеграла по любому замкнутому контуру, содержащему начальную и конечную точки.
(Остроградский Михаил Васильевич (1861–1862) – русский математик,
академик Петерб. А.Н.)
(Джордж Грин (1793 – 1841) – английский математик)
Иногда эту формулу называют формулой Грина, однако, Дж.
Грин предложил в 1828 году только частный случай формулы.
Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.
Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:
Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кривые, то, проведя аналогичные преобразования, получим формулу для контура произвольной формы:
Эта формула называется формулой Остроградского – Грина.
Формула Остроградского – Грина справедлива и в случае многосвязной области, т.е. области, внутри которой есть исключенные участки. В этом случае правая часть формулы будет представлять собой сумму интегралов по внешнему контуру области и интегралов по контурам всех исключенных участков, причем каждый из этих контуров интегрируется в таком направлении, чтобы область D все время оставалась по левую сторону линии обхода.
Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского – Грина.
Формула Остроградского – Грина позволяет значительно упростить вычисление криволинейного интеграла.
Криволинейный интеграл не зависит от формы пути, если он вдоль всех путей, соединяющих начальную и конечную точку, имеет одну и ту же величину.
Условием независимости криволинейного интеграла от формы пути равносильно равенству нулю этого интеграла по любому замкнутому контуру, содержащему начальную и конечную точки.
Это условие будет выполняться, если подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции, т.е. выполняется условие тотальности.
Связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Остроградского – Грина, которая широко применяется в математическом анализе.
Пусть на плоскости Оху задана область D , ограниченная кривой, пересекающейся с прямыми, параллельными координатными осями не более чем в двух точках, т.е. область D – правильная.
Теорема 10.2.
Если
функции P
(x
;
y
)
и Q
(x
;
y
)
непрерывны вместе со своими частными
производными
и
в
областиD
,
то имеет место формула
(10.8)
где L – граница области D и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (т.е. при движении вдоль кривой, область D остается слева).
Формула (10.8) называется формулой Остроградского – Грина.
П
усть
-
уравнение дугиAnB
,
а
- уравнение дугиAmB
(см. рис. 8). Найдем сначала
.По
правилу вычисления двойного интеграла,
имеем:
Или согласно формуле (10.6), Рис. 8.
Аналогично
доказывается, что
(10.10)
Если из равенства (10.10) вычесть равенство (10.9), то получим формулу (10.8).
Замечание. Формула (10.8) справедлива и для произвольной области, которую можно разбить на конечное число правильных областей.
Пример 10.3. С помощью формулы Остроградского – Грина вычислить
где L – контур прямоугольника с вершинами А (3;2 ), В (6;2 ), С (6;4 ), D (3;4 ).
○ Решение:
На
рисунке 9 изображен контур интегрирования.
Поскольку
по
формуле (10.8) имеем:
10.4. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
П
устьA
(x
1 ;
y
1)
и B
(x
2 ;
y
2)
– две произвольные точки односвязной
области D
плоскости Оху
(плоскость D
называется односвязной
,
если для любого замкнутого контура,
лежащего в этой области, ограниченная
им часть плоскости целиком принадлежит
D
(область без «дыр»)). Точки А
и В
можно соединить различными линиями
(на рис. 10 это L
1 ,
L
2
и L
3).
По каждой из этих кривых интеграл
имеет,
вообще говоря, свое значение.
Если же его значения по всевозможным кривым AB одинаковы, то говорят, что интеграл I не зависит от вида пути интегрирования.
Рис. 10. В этом случае для интеграла I достаточно отметить лишь его начальную точку A (x 1 ; y 1 ) и его конечную точку B (x 2 ; y 2 ) пути. Записывают:
(10.11)
Каковы же условия, при которых криволинейный интеграл II рода не зависел от вида пути интегрирования?
Теорема 10.3.
Для
того, что бы криволинейный интеграл
не
зависел от пути интегрирования в
односвязной областиD
,
в которой функции P
(x
;
y
),
Q
(x
;
y
)
непрерывны вместе со своими частными
производными, необходимо и достаточно,
что бы в каждой точке этой области
выполнялось условие
=
(10.12)
Докажем
достаточность условия (10.12). Рассмотрим
произвольный замкнутый круг AmBnA
(или L
)
в области D
(см. рис. 11). Для него имеет место формула
Остроградского – Грина (10.8) В силу
условия (10.12) имеем:
,
или
.
Учитывая свойства криволинейного
интеграла, имеем:
,
т.е.
Полученное равенство означает, что криволинейный интеграл не зависит о пути интегрирования.
Рис.11.
В ходе доказательства
теоремы получено, что если выполняется
условие
=
,
то интеграл по замкнутому кругу равен
нулю:
Верно и обратное утверждение.
Следствие 10.1. Если выполняется условие (10.12), то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функцииu = u (x ; y ), т.е.
Тогда (см. (10.11))
Формула (10.14) называется обобщенной формулой Ньютона – Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.
Следствие 10.2.
Если подынтегральное выражение Pdx
+
Qdy
есть полный дифференциал и путь
интегрирования L
замкнутый, то
.
Замечания:
В качестве начальной точки (x 0 ; y 0) обычно берут точку (0;0) – начало координат (см. пример 10.5).
=
,
=
,
=
;
Пример
10.4.
Найти
Решение:
Здесь P
=
y
,
Q
=
x
,
=
=
1.
Согласно вышеприведенной теореме,
интеграл не зависит от пути интегрирования.
В качестве пути интегрирования можно
взять отрезок прямой y
=
x
,
дугу параболы y
=
x
2
и т. д. или воспользоваться формулой
(10.14). Так как ydx
+ xdy = d(xy)
,
то
Пример 10.5. Убедиться, что выражение представляет собой полный дифференциал функцииU (x ; y ) и найти ее.
Решение: Для того чтобы указанное выражение являлось полным дифференциалом, необходимо выполнение условий (10.12):
Условия выполнены, следовательно, А так как полный дифференциал имеет вид
,
то верны соотношения
(10.16)
Интегрируем
по х
первое из уравнений, считая у
постоянным, при этом вместо постоянно
интегрирования следует поставить
-
неизвестную функцию зависящую только
оту
:
Подставляя
полученное выражение во второе уравнение
(10.16), найдем
:
Таким образом,
Отметим, что функцию U проще найти, используя формулу (10.15).
Если дан криволинейный интеграл, а кривая, по которой происходит интегрирование - замкнутая (называется контуром), то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и обозначается следующим образом:
Область, ограниченную контуром L обозначим D . Если функции P (x , y ) , Q (x , y ) и их частные производные и - функции, непрерывные в области D , то для вычисления криволинейного интеграла можно воспользоваться формулой Грина:
Таким образом, вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к вычислению двойного интеграла по области D .
Формула Грина остаётся справедливой для всякой замкнутой области, которую можно проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей.
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
,
если L - контур треугольника OAB , где О (0; 0) , A (1; 2) и B (1; 0) . Направление обхода контура - против часовой стрелки. Задачу решить двумя способами: а) вычислить криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника и сложить результаты; б) по формуле Грина.
а) Вычислим криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника. Сторона OB находится на оси Ox , поэтому её уравнением будет y = 0 . Поэтому dy = 0 и можем вычислить криволинейный интеграл по стороне OB :
Уравнением стороны BA будет x = 1 . Поэтому dx = 0 . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне BA :
Уравнение стороны AO составим, пользуясь формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:
.
Таким образом, dy = 2dx . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне AO :
Данный криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов по краям треугольника:
.
б) Применим формулу Грина. Так как 
,
, то
. У нас есть всё для того,
чтобы вычислить данный интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина:
Как видим, получили один и тот же результат, но по формуле Грина вычисление интеграла по замкнутому контуру происходит значительно быстрее.
Пример 2.
,
где L - контур OAB , OB - дуга параболы y = x ² , от точки О (0; 0) до точки A (1; 1) , AB и BO - отрезки прямых, B (0; 1) .
Решение. Так как функции , , а их частные производные , , D - область, ограниченная контуром L , у нас есть всё, чтобы воспользоваться формулой Грина и вычислить данный интеграл по замкнутому контуру:
Пример 3. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл
,
если L
- контур, который образуют линия
y
= 2 − |x
|
и ось
Oy
.
Решение. Линия y = 2 − |x | состоит из двух лучей: y = 2 − x , если x ≥ 0 и y = 2 + x , если x < 0 .
Имеем функции , и их частные производные и . Подставляем всё в формулу Грина и получаем результат.
Загрузка...