МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
КРЮКОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА
По математике
в 1 классе
Разработала: Татьяна Александровна Вербина,
учитель начальных классов
х. Крюков
2014г
Тема: Закрепление знаний по теме «Прибавить и вычесть число 3.
Решение текстовых задач»
23.12.14г Учитель начальных классов:
Т. А. Вербина
Цели
Образовательные:
закрепить приёмы сложения и вычитания для случаев вида +3,- 3;
закрепить решение текстовых задач.
Развивающие:
развивать математическую речь;
развивать умение устанавливать закономерности;
развивать внимание;
развивать пространственное мышление;
развивать логическое мышление.
Воспитательные:
воспитывать интерес к изучению математики;
воспитывать самостоятельность;
воспитывать аккуратность в ведении тетради;
воспитывать желание преодолевать трудности.
Здоровьесберегающие: проведение физминуток.
Формирование УУД (метапредметные)
Личностные УУД:
самоопределение;
смыслообразование;
нравственно-этическая ориентация;
принятие образца “хорошего ученика”;
формирование интереса (мотивации) к учению.
Регулятивные УУД:
целеполагание;
планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка;
организовывать свое рабочее место под руководством учителя;
определять цель выполнения заданий на уроке;
умение оценивать результат своей работы на уроке.
Познавательные УУД:
умение осознано строить речевое высказывание в устной форме;
отвечать на вопросы учителя;
уметь осуществлять поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий;
построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД:
умение осуществлять взаимопроверку;
участвовать в диалоге на уроке;
отвечать на вопросы учителя, товарищей по классу;
слушать и понимать речь других;
взаимодействовать в паре.
Используемые технологии: элементы индивидуально-ориентированной системы обучения (ИОСО), здоровьесберегающей технологии, информационно-коммуникационная технология (ИКТ), педагогика сотрудничества, групповая технология, технология педагогического общения, технология педагогической поддержки.
Тип урока: урок закрепления знаний.
Форма урока: урок-путешествие.
Методы обучения: наглядный, проблемный, частично–поисковый, объяснительно - иллюстративный.
Дидактическая задача: усвоение, закрепление знаний, контроль над ходом и результатом усвоения.
Форма обучения: фронтальная, коллективная, индивидуальная.
Оборудование: ТСО, презентация, раздаточный материал, иллюстративный материал.
Ход урока
1. Организация класса на работу.
Мотивация к учебной деятельности.
- Ребята! Сегодня к нам на урок пришли гости. Они хотят посмотреть, чему вы научились, как умеете думать, рассуждать.
- Повернитесь к гостям и поприветствуйте их.
Прозвенел и смолк звонок.Всех собрал он на урок.Все у парты ровно встали,Улыбнулись, подравнялись.Тихо сели за свой стол.Начинаем разговор.
2. Актуализация знаний.
- Кто настроен на хорошую работу на уроке, хлопните в ладоши. Молодцы!
Устный счёт:
- Сегодня на уроке мы с вами отправляемся в гости. Отгадайте, к кому? (удивлённо)
Загадка: Хоть сама и снег, и лед,
А уходит – слезы льет.(Зима)
!Включен проектор!
- Посмотрите на экран. 1 слайд
К кому мы отправляемся в гости? (К зимушке - зиме).
- А какой зимний, веселый праздник приближается? (Новый год)
- В нашем зимнем лесу есть елочка. Зимушка – зима просит вас помочь к Новому году нарядить ее. За правильно выполненное задание мы будем вывешивать игрушку на елку.
- Но прежде чем выполнять сложные задания, давайте проведём разминку.
- Ребята приготовились. (Взяли волшебную палочку - цветной карандаш и льдинки - листики)
1. Запишите число последующее числу 7, 5.
- Как получить последующее число? (Увеличить на 1)
2. Запишите число предыдущее числу 10, 8.
- Как получить предыдущее число? (Уменьшить на 1)
3. Какое число стоит между числами 5 и 7?
4. Какое число стоит между 8 и 9? (Будьте внимательны)
5. 1-е слагаемое 6, 2-е слагаемое 3.Чему равна сумма?
- Что вы можете сказать о числе 9? (Соседи чётные, самое большое однозначное число, назвать состав числа)
Задачи на смекалку.
- Сколько ушей у трёх мышей? Почему?
- Сколько лап у двух медвежат?
- Сколько носиков у двадцати первоклашек?
- Посмотрите на доску.
2, 4, 6, 8
1, 2, 3, 4
1, 3, 5, 7
- Что вы можете сказать про числовые ряды расположенные горизонтально?
- Чем они отличаются друг от друга?
- Я внимательно смотрела, как вы работали. И самые внимательные три ученика выйдут к доске. (Круговые примеры «Лепим снеговиков»)
1
- Ребята, вы выполнили первое задания.
Повесим на ёлочку первую игрушку.
- Отправляемся в гости. Кто нас встретит в зимнем лесу, мы узнаем, если выполним первое задание.
2 слайд
- Посмотрите на слайд и скажите, чем похожи примеры. (Прибавляем или вычитаем 1)
- Давайте вспомним, что значит «вычесть 1»?
- Что значит «прибавить 1»?
5+1=
6+1=
3-1=
2+1=
10-1=
5-1=
7+1=
6-1=
- Работать будете в паре. Считаете пример устно, выкладываете карточку с ответом на стол. (Набор для счёта или лист А-4, ответ будут записывать карандашом)
- Чья пара будет готова, подайте сигнал смайликом. (Работают в паре) Прочитайте, что у вас получилось.(6, 7, 2, 3, 9, 4, 8, 5)
- Как расположены числа? (В беспорядке)
9 8 7 6 5 4 3 2
- Расположите числа в порядке убывания. Проверим задание.
3 слайд
2
- Какие это числа? (однозначные)
- Молодцы! Вы справились с заданием. Повесим игрушку на елку.
- А теперь узнаем, кто к нам идет. Каждой цифре, лежащей у вас на парте, соответствует буква. Ключ к разгадке на слайде.
4 слайд
9- С 7-Е 5- О 3-И
8- Н 6-Г 4-В 2-К
- Давайте послушаем! Слышите? (слышен хруст снега) К нам идёт … - Прочитайте получившееся слово………….(снеговик)
- Снеговик – помощник Деда Мороза. Дедушка уже спешит к нам в гости. А чтобы ему понравилась наша ёлочка, мы ее должны нарядить. Снеговик приготовил для вас задания.
Физминутка (Снеговик под музыку)
- Отдохнули?
Задание №1. Снеговик предлагает заполнить пропуски.
5 слайд Состав числа 9 (Ёлочка)
3. Индивидуальная работа на карточках.
- У вас на партах карточки. Заполните пропущенные цифры. Кто готов к проверке, покажите смайликом.
- А мы оцениваем: если правильно, то хлопаем, если нет – то топаем.
3
- Вы справились с заданием.
Задания №2. (На доске)
4. Фронтальная работа.
Объясни и реши примеры.
- Из каких чисел может состоять число 3?
3 = 1 + 1 + 1 3 = 2 + 1 3=1+2
- Решим примеры.
4 + 2 + 1 = 7 7 + 2 + 1 = 10
8 – 2 – 1 = 5 5 – 2 – 1 = 2
4
Повесим ещё одну игрушку на ёлочку.
- Устали? Давайте отдохнём.
6 слайд Физминутка для глаз
(Слайд 7 -8) Задание № 3. Реши задачу.
а) На елке было 6 красивых шаров. Пришла Снегурочка, и шаров на елке оказалось на 2 больше. Сколько стало шаров?
- Назовите условие задачи.
- Назовите вопрос задачи.
- Назовите решение задачи.
5
- Назовите ответ задачи.
- Вы справились с заданием? Повесим игрушку на елку.
Физминутка.
Мы решали, всё решали
И немножко подустали.
Наш дежурный выходи,
И зарядку проведи!
(Выходит дежурный, проводит зарядку под музыку).
Задание № 4. Открой рабочую тетрадь на с. 40 и выполни задания.
5. Индивидуальная самостоятельная работа в тетради с. 40.
- Закрасим аккуратно коврик, чтобы приятно было его постелить у себя в комнате.
- Назовем коврики, которые закрасили красным цветом? (6-2; 7-3; 1+3)
- Назовем коврики, которые закрасили желтым цветом? (8-3; 1+4; 7-2)
-Поднимите руки вверх, у кого правильный ответ. Похлопайте в ладоши.
- Назовем коврики, которые закрасили зеленым цветом? (8-2; 2+4; 3+3)
-Поднимите руки вверх, у кого правильный ответ. Похлопайте в ладоши.
- Назовем коврики, которые закрасили синим цветом? (10-3; 5+2; 4+3).
-Поднимите руки вверх, у кого правильный ответ. Похлопайте в ладоши.
6
- Вы справились с заданием.
Повесим игрушку на елку.
- Следующее задание № 5 в тетради:
- Решите числовые выражения и запишите ответы.
- Рассмотрите рисунок слева. Что изображено? Выберите для этого рисунка решение. Соедините рисунок и решение задачи линией.
7
- Рассмотрите рисунок справа. Что изображено? Выберите для этого рисунка решение. Соедините рисунок и решение линией. Назовите решение к левому рисунку; к правому рисунку.
- Вы справились с заданием. Повесим игрушку на елку.
-Задание резервное на с. 40 в тетради. Продолжи рисунок влево и вправо. Раскрась.
- Вот и подходит к концу наше путешествие. А кто это к нам спешит?
Кто приходит в каждый дом
В Новый год с большим мешком?
Шуба, шапка, красный нос,
Это Дедушка …………(Мороз)
- Мы подарим Д.М. свою нарядную ёлочку, которую украшали все вместе, а он дарит вам свою Новогоднюю елку со сладкими сувенирами.
7. Рефлексия
- Итак, мы возвращаемся в класс из зимнего леса, о чём интересном вы расскажите дома?
- Чему учились? Как прибавляли и отнимали 3?
- На партах у вас лежит рисунок с изображением снеговика. Кому на уроке было комфортно, кто получил удовлетворение от работы, нарисуйте улыбку снеговику. (Показываю рожицу и вывешиваю на доску)
- У кого есть вопросы по теме урока, кто сомневается в своих знаниях, рисует на месте рта прямую полосочку. (Показываю рожицу и вывешиваю на доску)
- Кто не понял материал, рисует рот, уголки опущены вниз. (Показываю рожицу и вывешиваю на доску)
- Спасибо вам всем за урок! Прозвени – ка, дружок, голосистый звонок. Перемену ждут ребята, поиграть, попрыгать надо.
57939279194
3091815272415
-622935245745
1796415104775
Цель: формирование умения решать прикладные задачи, содержащие функциональные зависимости, выражать одну переменную через другие.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
& 29.1.Разберите, что называют функцией, графиком функции. Повторите, какие основные свойства рассматривают у функции.
Примеры и упражнения:
29.2. (ЕГЭ) На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку:
б) наибольшую температуру воздуха;
в) наименьшую температуру воздуха;
?29.3. (ЕГЭ) На рисунке жирными точками показано количество запросов со словом ТУРИЗМ, сделанных на поисковом сайте Yandex.ru во все месяцы с марта 2014 по октябрь 2015 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - количество запросов за данный месяц. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку:
а) сколько запросов было сделано в ноябре 2014 года;
в) укажите месяц и год, когда было сделано наибольшее количество запросов;
29.4. (ЕГЭ) Трактор тащит сани с силой F = 30 кН, направленной под острым углом α = 60 0 к горизонту. Мощность N (в киловаттах) трактора равна . При какой скорости движения саней эта мощность будет 75 кВт?
29.5. (ЕГЭ) Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью 
м/с, начал торможение с постоянным ускорением а
= 4 м/с . За t
секунд после начала торможения он прошёл путь 
(м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 36 метров. Ответ выразите в секундах.
29.6. (ЕГЭ) Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью м/с под острым углом α к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью 
(м/с), где m
= 70 кг - масса скейтбордиста со скейтом, а M
= 350 кг - масса платформы. Под каким углом α (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу до 0,5 м/с?
29.7. (ЕГЭ) В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора C
= 4·10 -6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением R
= 5·10 6 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U
0 = 36 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U
(кВ) за время, определяемое выражением 
(с), где α = 1,8 - постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 72 с. Ответ дайте в киловольтах.
29.8. (ЕГЭ) В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону 
, где m
0 - начальная масса изотопа, t
- время, прошедшее от начального момента, T
- период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 16 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 2 мг.
¶29.9. (ЕГЭ) При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону 
, где l
0 = 10 м - длина покоящейся ракеты, c
= 3·10 5 км/с - скорость света, а v
- скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала 6 м? Ответ выразите в км/с.
Понятие функциональной зависимости в данных Основной единицей представления данных в реляционной модели является отношение, которое математически задается списком имен атрибутов, иначе - схемой отношения. На стадии логического проектирования реляционной базы данных проектировщик определяет схемы отношений в рамках некоторой предметной области: представляет сущности, группирует их атрибуты, выявляет основные связи между сущностями. Проектирование реляционной базы данных заключается в обоснованном выборе конкретных схем отношений из множества различных альтернативных вариантов схем.
Понятие функциональной зависимости в данных На практике построение логической модели базы данных, независимо от используемой модели данных, выполняется с учетом двух основных требований: исключить избыточность и максимально повысить надежность данных. Эти требования вытекают из требования коллективного использования данных группой пользователей.
Понятие функциональной зависимости в данных Формальных средств описания данных, необходимых для проверки правильности заполнения конструкций моделей, недостаточно. Выбор сущностей, атрибутов и фиксация взаимосвязей между сущностями зависит от семантики предметной области и выполняется системным аналитиком субъективно в соответствии с его личным пониманием специфики прикладной задачи. Разные люди определяют и представляют данные по- разному!
Понятие функциональной зависимости в данных Любое априорное знание об ограничениях предметной области, накладываемых на взаимосвязи между данными и значения данных, и знания об их свойствах и взаимоотношениях между ними может сыграть важную роль. Формализация таких априорных знаний о свойствах данных предметной области базы данных нашла свое отражение в концепции функциональной зависимости данных, т.е. ограничений на возможные взаимосвязи между данными, которые могут быть текущими значениями схемы отношений.
Понятие функциональной зависимости в данных Кортежи отношений могут представлять экземпляры сущности предметной области или фиксировать их взаимосвязь. Но даже если эти кортежи определены правильно, т.е. отвечают схеме отношения и выбраны из допустимых доменов, не всякий из них может быть текущим значением некоторого отношения. Пример: возраст человека редко бывает более 120 лет, или один и тот же пилот не может одновременно выполнять два различных рейса.
Понятие функциональной зависимости в данных Определение функции не накладывает никаких ограничений на множество аргументов и множество значений функции, кроме их существования и наличия соответствия между их элементами. Поскольку ФЗ можно задать таблично, а таблица есть форма представления отношения, то становится очевидной связь между ФЗ и отношением. Отношение может задавать ФЗ.
Понятие функциональной зависимости в данных Определение 1. Пусть r (A1, A2,..., An) - схема отношения R, a X и Y - подмножества r. Говорят, что Х функционально определяет Y, если каждому значению атрибутов кортежа отношения из Х соответствует не более одного значения атрибутов того же кортежа отношения из Y. Такая ФЗ обозначается как
Понятие функциональной зависимости в данных Пример: ГРАФИК_ПОЛЕТОВ (Пилот, Рейс, Дата_вылета, Время_вылета) Иванов:20 Иванов:30 Исаев:00 Исаев:20 Исаев:30 Петров:20 Петров:30 Фролов:00 Фролов:00 Фролов:30
Понятие функциональной зависимости в данных Известно, что: каждому рейсу соответствует определенное время вылета; для каждого пилота, даты и времени вылета возможен только один рейс; на определенный день и рейс назначается определенный пилот. Следовательно: "Время_вылета" функционально зависим от "Рейс": "Рейс" "Время_вылета" ; "Рейс" функционально зависим от {"Пилот", "Дата_вылета", "Время_вылета"}: {"Пилот", "Дата_вылета", "Время_вылета"} "Рейс" ; "Пилот" функционально зависим от {"Рейс", "Дата_вылета"}: {"Рейс", "Дата_вылета"} "Пилот".
Понятие функциональной зависимости в данных Важной задачей при выявлении функциональных зависимостей на атрибутах отношения, которое по определению является множеством, является выяснение, какой из атрибутов выступает как аргумент, а какой - как значение ФЗ. Наиболее подходящими кандидатами в аргументы ФЗ являются возможные ключи, так как кортежи представляют экземпляры сущности, которые идентифицируются значениями атрибутов своего ключа. Нестрого говоря, функциональная зависимость имеет место на отношении, когда значения кортежа на одном множестве атрибутов однозначным образом определяют значения кортежа на другом множестве атрибутов.
Для получения формального (строгого) определения наличия ФЗ в отношении нужно обратиться к реляционным операциям. Определение 2. Пусть имеется отношение R со схемой r, X и Y - два подмножества R. ФЗ имеет место на R, если множество имеет не более одного кортежа для каждого значения х. Такая ФЗ называется также F-зависимостью. Понятие функциональной зависимости в данных
Если семантика предметной области базы данных сложна, то проверить кортежи на принадлежность к ФЗ достаточно сложно. Сложно вообще установить наличие самой функциональной зависимости, отвечающей природе рассматриваемых данных. С помощью такого формального метода можно выявить ФЗ, которые не являются реальными и носят случайный характер. Проектировщику реляционных баз данных следует знать о таком методе проверки наличия ФЗ, но при проектировании новой базы данных его применение малоэффективно. Он может быть полезен при реинжиниринге существующей базы данных.
Основные классы функциональных зависимостей Анализ связей между сущностями в предметных областях позволяет выделить различные классы функциональных зависимостей. Значения атрибутов могут зависеть от ключа по-разному. Различают классы полных и частичных ФЗ. ФЗ может быть частичной, когда значение неключевого атрибута зависит от значений некоторых атрибутов составного ключа, и полной, когда значения неключевого атрибута зависят от значений всех атрибутов составного ключа.
Основные классы функциональных зависимостей Определение 3. Говорят, что неключевой атрибут функционально полно зависит от составного ключа, если он функционально зависит от ключа, но не находится в функциональной зависимости ни от какой части составного ключа. Если неключевой атрибут зависит от части составного ключа, то говорят о частичной ФЗ.
Основные классы функциональных зависимостей Первичным ключом отношения ПРЕПОДАВАТЕЛЬ_ПРЕДМЕТ является пара атрибутов Личный_номер-Предмет. Значения атрибута Количество_часов зависят от значения атрибута Предмет, т.е. имеем частичную ФЗ ПредметЧасы. Значения атрибута Фамилия зависят от значений атрибутов Личный_номер-Предмет, т.е. имеем полную функциональную зависимость {Личный_номер, Предмет} Фамилия.
Основные классы функциональных зависимостей Рассмотрим проблему избыточности данных с точки зрения существования определенных функциональных зависимостей. Избыточность данных может проявляться в виде дублирования значений некоторых атрибутов. Так, например, если несколько преподавателей находятся на одной и той же должности, то их оклады могут совпадать. Атрибут Оклад однозначно определяется атрибутом Должность. Разделение исходного отношения на два новых отношения позволит исключить дублирование данных.
Основные классы функциональных зависимостей Таким образом, выявление определенных функциональных зависимостей в отношениях базы данных позволяет преобразовать их с целью исключения избыточности и повышения надежности данных. Формирование схем отношений путем разбиения исходных отношений по их атрибутам с учетом функциональных зависимостей является одним из способов создания хороших схем реляционных баз данных.
Основные классы функциональных зависимостей Каким образом можно использовать это наблюдение с учетом семантики данных для конструирования отношений? Имеет смысл разбить все возможные зависимости на определенные типы ФЗ, и на основе этой классификации проанализировать, какие типы ФЗ к каким аномалиям в выполнении реляционных операций приводят.
Анализ связей между сущностями в предметных областях позволяет определить, наряду с частичной и полной ФЗ, еще несколько классов ФЗ. Одним из таких классов является класс транзитивных ФЗ. Определение 4. Пусть X, Y, Z - атрибуты отношения R. Если при этом имеются ФЗ и, но отсутствуют ФЗ и, то говорят, что Z транзитивно зависит от Х. Такие ФЗ называются транзитивными (Т-зависимостями). Основные классы функциональных зависимостей
Пример: Транзитивные ФЗ Личный номер преподавателя определяет его должность, т.е. имеет место ФЗ Личный_номерДолжность. С другой стороны, согласно тарификации каждой должности назначается определенный оклад, т.е. имеет место ФЗ ДолжностьОклад. Каждый преподаватель получает за работу соответствующий должности оклад, т.е. оклад преподавателя определяется через его должность.
Основные классы функциональных зависимостей Семантическая связь между атрибутами отношения может носить неоднозначный характер, это порождает существование класса многозначных зависимостей (MV- зависимостей). Пример: один преподаватель может преподавать несколько предметов, а один предмет может преподаваться несколькими преподавателями. Многозначная зависимость может быть следующих типов: 1:N (один ко многим), M:1 (многие к одному) и M:N (многие ко многим).
Основные классы функциональных зависимостей Определение 5. Пусть r - некоторая схема отношения, X и Y - подмножества атрибутов r. Если при заданных значениях атрибутов из {X} существует некоторое множество, состоящее из нуля или более взаимосвязанных значений атрибутов из {Y}, никак не связанных со значениями других атрибутов этого отношения r - X - Y, то говорят о существовании многозначной зависимости между атрибутами X и Y: (класс MV-зависимостей).
Основные классы функциональных зависимостей Разделение установленных функциональных зависимостей по различным отношениям может привести к нарушению принципа замкнутости реляционных операций, потере некоторых существующих кортежей или появлению мнимых кортежей. Поэтому есть необходимость выделения еще одного класса функциональных зависимостей - класса зависимостей по соединению (J-зависимостей). Этот класс ФЗ требует от ФЗ наличия свойства восстанавливаемости по своим проекциям с помощью естественного соединения.
Основные классы функциональных зависимостей Пусть U - универсальное отношение, полученное объединением всех атрибутов сущностей предметной области в одно отношение. Определение 6. Пусть r = {r_1, …, r_p} - множество схем на U. Отношение R из множества U удовлетворяет зависимости по соединению, если R разлагается без потерь на r как
Аксиомы вывода функциональных зависимостей Для каждой базы данных на множестве ее отношений можно рассмотреть все возможные, допустимые в семантическом смысле функциональные зависимости. Для каждого отношения существует вполне определенное множество ФЗ между его атрибутами. На практике число рассматриваемых атрибутов и ФЗ конечно (!).
Аксиомы вывода функциональных зависимостей Поскольку ФЗ являются высказываниями об атрибутах сущностей предметной области, то над ними могут быть определены операции, позволяющие логически получать одну зависимость из другой (или устанавливать между ними эквивалентность). Это позволяет определить для данной схемы базы данных базовый набор ФЗ, из которого может быть выведено все множество ФЗ, присущих этой схеме. Данное утверждение является важной конструктивной идеей в теории проектирования реляционных баз данных.
Математически задачу вывода базового набора ФЗ можно поставить следующим образом. Пусть U {A1, A2,..., An} - универсальное множество атрибутов, т.е. полный набор атрибутов отношения базы данных. Совокупность пар (X, Y), таких, что, задает структуру ФЗ отношения R. Такое отношение называют еще универсальным отношением. Задача состоит в построении такого набора ФЗ, из которого могут быть получены все ФЗ базы данных. Аксиомы вывода функциональных зависимостей
Лекция 3. Общие понятия и определения. Классификация функций. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о бесконечно малых функциях.
Функция
При решении различных задач обычно приходится иметь дело с постоянными и переменными величинами.
Определение
Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и тоже значение или вообще или в данном процессе: в последнем случае она называется параметром.
Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.
Понятие функции
При изучении различных явлений обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин (независимые переменные) полностью определяют значения других (зависимые переменные и функции).
Определение
Переменная величина y называется функцией (однозначной) от переменной величины x, если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению x соответствует единственное вполне определенное значение величины y (сформулировал Н.И.Лобачевский).
Обозначение y=f(x) (1)
x – независимая переменная или аргумент;
y – зависимая переменная (функция);
f – характеристика функции.
Совокупность всех значений независимой переменной, для которых функция определена, называется областью определения или областью существования этой функции. Областью определения функции может быть: отрезок, полуинтервал, интервал, вся числовая ось.
Каждому значению радиуса соответствует значение площади круга. Площадь – функция от радиуса, определенная в бесконечном интервале
2. Функция (2). Функция определена при 
Для наглядного представления поведения функции строят график функции.
Определение
Графиком функции y=f(x) называется множество точек M(x,y) плоскости OXY , координаты которых связаны данной функциональной зависимостью. Или график функции – это линия, уравнением которой служит равенство, определяющее функцию.
Например, график функции (2) – полуокружность радиуса 2 с центром в начале координат.
Простейшие функциональные зависимости
Рассмотрим несколько простейших функциональных зависимостей
- Прямая функциональная зависимость
Определение
Две переменные величины называются прямо пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении, другая изменяется в том же соотношении.
y=kx , где k – коэффициент пропорциональности.
График функции
- Линейная зависимость
Определение
Две переменные величины связаны линейной зависимостью, если , где - некоторые постоянные величины.
График функции
- Обратная пропорциональная зависимость
Определение
Две переменные величины называются обратно пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении, другая изменяется в обратном отношении.
- Квадратичная зависимость
Квадратичная зависимость в простейшем случае имеет вид , где k – некоторая постоянная величина. График функции – парабола.
- Синусоидальная зависимость.
При изучении периодических явлений важную роль играет синусоидальная зависимость
- функция называется гармоникой.
A – амплитуда;
Частота;
Начальная фаза.
Функция периодическая с периодом . Значения функции в точках x и x+T , отличающихся на период, одинаковы.
Функцию можно привести к виду 
, где . Отсюда получаем, что графиком гармоники является деформированная синусоида с амплитудой A периодом T, сдвинутая по оси ОХ на величину
|
| |
Способы задания функции
Обычно рассматривают три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.
- Аналитический способ задания функции
Если функция выражена при помощи формулы, то она задана аналитически.
Например
Если функция y=f(x) задана формулой, то ее характеристика f обозначает ту совокупность действий, которую нужно в определенном порядке произвести над значением аргумента x , чтобы получить соответствующее значение функции.
Пример 
. Выполняется три действия над значением аргумента.
- Табличный способ задания функции
Этот способ устанавливает соответствие между переменными с помощью таблицы. Зная аналитическое выражение функции, можно представить эту функцию для интересующих нас значений аргумента при помощи таблицы.
Можно ли от табличного задания функции перейти к аналитическому выражению?
Заметим, что таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно. Это, так называемое интерполирование функции. Поэтому, в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по табличным данным нельзя. Однако всегда можно построить формулу, и при том не одну, которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции. Такого рода формула называется интерполяционной.
- Графический способ задания функции
Аналитический и табличный способы не дают наглядного представления о функции.
Этого недостатка лишен графический способ задания функции y=f(x) , когда соответствие между аргументом x и функцией y устанавливается с помощью графика.
Понятие неявной функции
Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной.
Функция y от аргумента x называется неявной, если она задана уравнением
F(x,y)=0 (1) неразрешенным относительно зависимой переменной.
Понятие обратной функции
Пусть задана функция y=f(x) (1). Задавая значения аргумента х, получаем значения функции y.
Можно, считая y аргументом, а х – функцией, задавать значения y и получать значения x . В таком случае уравнение (1) будет определять x , как неявную функцию от y . Эта последняя функция называется обратной по отношению к данной функции y .
Предполагая, что уравнение (1) разрешено относительно x, получаем явное выражение обратной функции
(2), где функция для всех допустимых значений y удовлетворяет условию
Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Выпуклость функции. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.
Сложная функция (композиция функций). Взаимно обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Нахождение функции, обратной данной.
Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью. Зависимость переменной от переменной называется функцией , если каждому значению соответствует единственное значение .
Обозначение: .
Переменную называют независимой переменной или аргументом, а переменную – зависимой. Говорят, что является функцией от . Значение , соответствующее заданному значению , называют значением функции.
Все значения, которые принимает , образуют область определения функции; все значения, которые принимает , образуют множество значений функции.
Обозначения:
– область определения функции;
– область значений функции;
– значение функции в точке .
– значения аргумента. – значения функции. Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.
Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. Если некоторому значению соответствуют несколько значений (а не одно) , то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси , пересекалась с графиком не более чем в одной точке.
Способы задания функции
1) Функция может быть задана аналитически в виде формулы. Например, 
2) Функция может быть задана таблицей из множества пар .
3) Функция может быть задана графически. Пары значений изображаются на координатной плоскости.
Определение : Функция называется четной, если для любого из области определения . График произвольной четной функции приведен на рисунке ниже.
Загрузка...