Является ли система векторов линейно независимой онлайн. §2.2. Линейная зависимость векторов. Базис и координаты. Определение линейной зависимости векторов

Другими словами линейная зависимость группы векторов означает, что существует среди них вектор, который можно представить линейной комбинацией других векторов этой группы.

Допустим . Тогда

Следовательно вектор x линейно зависим из векторов этой группы.

Векторы x , y , ..., z называются линейно независимыми векторами , если из равенства (0) следует, что

α=β= ...= γ=0.

То есть группы векторов линейно независимы, если ни один вектор не может быть представлен линейной комбинацией других векторов этой группы.

Определение линейной зависимости векторов

Пусть заданы m векторов строк порядка n:

Сделав Гауссово исключение , приведем матрицу (2) к верхнему треугольному виду. Элементы последнего столбца изменяются только тогда, когда строки переставляются. После m шагов исключения получим:

где i 1 , i 2 , ..., i m - индексы строк, полученные при возможной перестановки строк. Рассматривая полученные строки из индексов строк исключаем те, которые соответствуют нулевым вектором строк. Оставшиеся строки образуют линейно независимые векторы. Отметим, что при составлении матрицы (2) изменяя последовательность векторов строк, можно получить другую группу линейно независимых векторов. Но подпространство, которую оба эти группы векторов образуют совпадают.

Линейная зависимость и независимость векторов

Определения линейно зависимой и независимой систем векторов

Определение 22

Пусть имеем систему из n-векторов и имеем набор чисел
, тогда

(11)

называется линейной комбинацией данной системы векторов с данным набором коэффициентов.

Определение 23

Система векторов
называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов
, из которых хотя бы один не равен нулю, что линейная комбинация данной системы векторов с этим набором коэффициентов равна нулевому вектору:

Пусть
, тогда

Определение 24 (через представление одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)

Система векторов
называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов этой системы.

Утверждение 3

Определения 23 и 24 эквивалентны.

Определение 25 (через нулевую линейную комбинацию)

Система векторов
называется линейно независимой, если нулевая линейная комбинация этой системы возможна лишь при всех
равных нулю.

Определение 26 (через невозможность представления одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)

Система векторов
называется линейно независимой, если не один из векторов этой системы нельзя представить в виде линейной комбинации других векторов этой системы.

Свойства линейно зависимой и независимой систем векторов

Теорема 2 (нулевой вектор в системе векторов)

Если в системе векторов имеется нулевой вектор, то система линейно зависима.

 Пусть
, тогда .

Получим
, следовательно, по определению линейно зависимой системы векторов через нулевую линейную комбинацию (12) система линейно зависима. 

Теорема 3 (зависимая подсистема в системе векторов)

Если в системе векторов имеется линейно зависимая подсистема, то и вся система линейно зависима.

 Пусть
- линейно зависимая подсистема
, среди которых хотя бы одно не равно нулю:

Значит, по определению 23, система линейно зависима. 

Теорема 4

Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

 От противного. Пусть система линейно независима и в ней имеется линейно зависимая подсистема. Но тогда по теореме 3 вся система будет также линейно зависимой. Противоречие. Следовательно, подсистема линейно независимой системы не может быть линейно зависимой. 

Геометрический смысл линейной зависимости и независимости системы векторов

Теорема 5

Два вектора и линейно зависимы тогда и только тогда, когда
.

 Необходимость.

и - линейно зависимы
, что выполняется условие
. Тогда
, т.е.
.

Достаточность.

Линейно зависимы. 

Следствие 5.1

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору

Следствие 5.2

Для того чтобы два вектора были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы был не коллинеарен .

Теорема 6

Для того чтобы система из трёх векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарными.

 Необходимость.

- линейно зависимы, следовательно, один вектор можно представить в виде линейной комбинации двух других.

, (13)

где
и
. По правилу параллелограмма есть диагональ параллелограмма со сторонами
, но параллелограмм – плоская фигура
компланарны
- тоже компланарны.

Достаточность .

- компланарны. Приложим три вектора к точке О:

– линейно зависимы 

Следствие 6.1

Нулевой вектор компланарен любой паре векторов.

Следствие 6.2

Для того чтобы векторы
были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы они были не компланарны.

Следствие 6.3

Любой вектор плоскости можно представить в виде линейной комбинации любых двух неколлинеарных векторов этой же плоскости.

Теорема 7

Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

 Рассмотрим 4 случая:

Проведем плоскость через векторы , затем плоскость через векторы и плоскость через векторы . Затем проведем плоскости, проходящие через точку D, параллельные парам векторов ; ; соответственно. По линиям пересечения плоскостей строим параллелепипед OB 1 D 1 C 1 ABDC .

Рассмотрим OB 1 D 1 C 1 – параллелограмм по построению по правилу параллелограмма
.

Рассмотрим OADD 1 – параллелограмм (из свойства параллелепипеда)
, тогда

EMBED Equation.3 .

По теореме 1
такие, что . Тогда
, и по определению 24 система векторов линейно зависимая. 

Следствие 7.1

Суммой трёх некомпланарных векторов в пространстве является вектор, совпадающий с диагональю параллелепипеда, построенного на этих трёх векторах, приложенных к общему началу, причём начало вектора суммы совпадает с общим началом этих трёх векторов.

Следствие 7.2

Если в пространстве взять 3 некомпланарных вектора, то любой вектор этого пространства можно разложить в линейную комбинацию данных трёх векторов.

В данной статье мы расскажем:

что такое коллинеарные векторы;
какие существуют условия коллинеарности векторов;
какие существуют свойства коллинеарных векторов;
что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.

Определение 1

Коллинеарные векторы - это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Пример 1

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

условие 1 . Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
условие 2 . Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

условие 3 . Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Замечание 1

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Замечание 2

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Пример 1

Исследуем векторы а = (1 ; 3) и b = (2 ; 1) на коллинеарность.

Как решить?

В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:

Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Ответ : a | | b

Пример 2

Какое значение m вектора a = (1 ; 2) и b = (- 1 ; m) необходимо для коллинеарности векторов?

Как решить?

Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:

Отсюда видно, что m = - 2 .

Ответ: m = - 2 .

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Теорема

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

Доказательство

Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Обозначим:

A k - 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

В таком случае:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Достаточность

Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Поскольку коэффициент вектора e k равен - 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Следствие:

Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.

Свойства линейно зависимых векторов

Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора - коллинеарны. Два коллинеарных вектора - линейно зависимы.
Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора - компланарны. (3 компланарных вектора - линейно зависимы).
Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Пример 3

Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.

Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.

Пример 4

Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 на линейную независимость.

Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записываем векторное уравнение в виде линейного:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей - 1-ю:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Пусть L - произвольное линейное пространство, a i Î L, - его элементы (векторы).

Определение 3.3.1. Выражение , где , - произвольные вещественные числа, называется линейной комбинацией векторов a 1 , a 2 ,…, a n .

Если вектор р = , то говорят, что р разложен по векторам a 1 , a 2 ,…, a n .

Определение 3.3.2. Линейная комбинация векторов называется нетривиальной , если среди чисел есть хотя бы одно отличное от нуля. В противном случае, линейная комбинация называется тривиальной .

Определение 3 .3.3 . Векторы a 1 , a 2 ,…, a n называются линейно зависимыми, если существуют их нетривиальная линейная комбинация, такая что

= 0 .

Определение 3 .3.4. Векторы a 1 ,a 2 ,…, a n называются линейно независимыми, если равенство = 0 возможно лишь в случае, когда все числа l 1, l 2,…, l n одновременно равны нулю.

Отметим, что всякий ненулевой элемент a 1 можно рассматривать как линейно независимую систему, ибо равенство l a 1 = 0 возможно лишь при условии l = 0.

Теорема 3.3.1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости a 1 , a 2 ,…, a n является возможность разложения, по крайней мере, одного из этих элементов по остальным.

Доказательство. Необходимость. Пусть элементы a 1 , a 2 ,…, a n линейно зависимы. Это означает, что = 0 , причем хотя бы одно из чисел l 1, l 2,…, l n отлично от нуля. Пусть для определенности l 1 ¹ 0. Тогда

т. е. элемент a 1 разложен по элементам a 2 , a 3 , …, a n .

Достаточность. Пусть элемент a 1 разложен по элементам a 2 , a 3 , …, a n , т. е. a 1 = . Тогда = 0 , следовательно, существует нетривиальная линейная комбинация векторов a 1 , a 2 ,…, a n , равная 0 , поэтому они являются линейно зависимыми.

Теорема 3.3.2 . Если хотя бы один из элементов a 1 , a 2 ,…, a n нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

Доказательство. Пусть a n = 0 , тогда = 0 , что и означает линейную зависимость указанных элементов.

Теорема 3.3.3 . Если среди n векторов какие-либо p (p < n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Доказательство. Пусть для определенности элементы a 1 , a 2 ,…, a p линейно зависимы. Это означает, что существует такая нетривиальная линейная комбинация, что = 0 . Указанное равенство сохранится, если добавить к обеим его частям элемент . Тогда + = 0 , при этом хотя бы одно из чисел l 1, l 2,…, lp отлично от нуля. Следовательно, векторы a 1 , a 2 ,…, a n являются линейно зависимыми.

Следствие 3.3.1. Если n элементов линейно независимы, то любые k из них линейно независимы (k < n).

Теорема 3.3.4 . Если векторы a 1 , a 2 ,…, a n - 1 линейно независимы, а элементы a 1 , a 2 ,…, a n - 1 , a n линейно зависимы, то вектор a n можно разложить по векторам a 1 , a 2 ,…, a n - 1 .

Доказательство. Так как по условию a 1 , a 2 ,…, a n - 1 , a n линейно зависимы, то существует их нетривиальная линейная комбинация = 0 , причем (в противном случае, окажутся линейно зависимыми векторы a 1 , a 2 ,…, a n - 1). Но тогда вектор

что и требовалось доказать.

Пусть в -мерном арифметическом пространстве имеется совокупность векторов .

Определение 2.1. Совокупность векторов называется линейно независимой системой векторов, если равенство вида

выполняется только при нулевых значениях числовых параметров .

Если равенство (2.1) может быть выполнено при условии, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то такая система векторов будет называться линейно зависимой .

Пример 2.1. Проверить линейную независимость векторов

Решение. Составим равенство вида (2.1)

Левая часть данного выражения может обращаться в нуль только при выполнении условия , которое означает, что система является линейно-независимой.

Пример 2.1. Будут ли векторы линейно независимыми?

Решение. Нетрудно проверить, что равенство верно при значениях , . Значит, данная система векторов линейно зависима.

Теорема 2.1. Если система векторов является линейно зависимой, то любой вектор из этой системы может быть представлен в виде линейной комбинации (или суперпозиции) остальных векторов системы.

Доказательство . Предположим, что система векторов линейно зависима. Тогда в силу определения существует набор чисел , среди которых хотя бы одно число отлично от нуля, и при этом справедливо равенство (2.1):

Без потери общности предположим, что ненулевым коэффициентом является , то есть . Тогда последнее равенство можно разделить на и далее выразить вектор :

Таким образом, вектор представлен в виде суперпозиции векторов . Теорема 1 доказана.

Следствие. Если – совокупность линейно независимых векторов, то ни один вектор из этого набора не может быть выражен через остальные .

Теорема 2.2. Если система векторов содержит ноль-вектор, то такая система обязательно будет линейно зависимой .

Доказательство . Пусть вектор является ноль-вектором, то есть .

Тогда выбираем постоянные () следующим образом:

, .

При этом равенство (2.1) выполняется. Первое слагаемое слева равно нулю вследствие того, что – ноль-вектор. Остальные слагаемые обращаются в нуль, будучи умноженными на нулевые константы (). Таким образом,

при , а значит, векторы линейно зависимые. Теорема 2.2 доказана.

Следующий вопрос, на который нам предстоит ответить, какое наибольшее количество векторов может составить линейно независимую систему в n -мерном арифметическом пространстве. В пункте 2.1 был рассмотрен естественный базис (1.4):

Было установлено, что произвольный вектор -мерного пространства является линейной комбинацией векторов естественного базиса, то есть произвольный вектор выражается в естественном базисе в виде

, (2.2)

где – координаты вектора , представляющие собой некоторые числа. Тогда равенство

возможно лишь при , а значит, векторов естественного базиса образуют линейно независимую систему. Если добавить к этой системе произвольный вектор , то на основании следствия теоремы 1 система будет зависимой, поскольку вектор выражается через векторы по формуле (2.2).

Этот пример показывает, что в n -мерном арифметическом пространстве существуют системы, состоящие из линейно независимых векторов. А если к этой системе добавить хотя бы один вектор, то получим систему линейно зависимых векторов. Докажем, что если число векторов превышает размерность пространства, то они линейно зависимые.

Теорема 2.3. В -мерном арифметическом пространстве не существует системы, состоящей более чем из линейно независимых векторов.

Доказательство . Рассмотрим произвольных -мерных векторов:

………………………

Пусть . Составим линейную комбинацию векторов (2.3) и приравняем её к нулю:

Векторное равенство (2.4) равносильно скалярным равенствам для координат векторов :

(2.5)

Эти равенства образуют систему однородных уравнений с неизвестными . Так как число неизвестных больше числа уравнений (), то в силу следствия теоремы 9.3 раздела 1 однородная система (2.5) имеет ненулевое решение. Следовательно, равенство (2.4) справедливо при некоторых значениях , среди которых не все равны нулю, а значит, система векторов (2.3) линейно зависимая. Теорема 2.3 доказана.

Следствие. В -мерном пространстве существуют системы, состоящие из линейно независимых векторов, а любая система, содержащая больше чем векторов, будет линейно зависимой.

Определение 2.2. Систему линейно независимых векторов называют базисом пространства , если любой вектор пространства может быть выражен в виде линейной комбинации этих линейно независимых векторов.

2.3. Линейное преобразование векторов

Рассмотрим два вектора и -мерного арифметического пространства .

Определение 3.1. Если каждому вектору сопоставлен вектор из этого же пространства , то говорят, что задано некоторое преобразование -мерного арифметического пространства.

Будем обозначать это преобразование через . Вектор будем называть образом . Можно записать равенсто

. (3.1)

Определение 3.2. Преобразование (3.1) будем называть линейным, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

, (3.2)

, (3.3)

где - произвольный скаляр (число).

Зададим преобразование (3.1) в координатной форме. Пусть координаты векторов и связаны зависимостью

(3.4)

Формулы (3.4) задают преобразование (3.1) в координатной форме. Коэффициенты () системы равенств (3.4) можно представить в виде матрицы

называемой матрицей преобразования (3.1).

Введём векторы-столбцы

элементы которых суть координаты векторов и соответственно, так что и . Будем далее векторы-столбцы и называть векторами.

Тогда преобразование (3.4) может быть записано в матричной форме

. (3.5)

Преобразование (3.5) является линейным в силу свойств арифметических операций над матрицами .

Рассмотрим некоторое преобразование , образом которого является ноль-вектор. В матричном виде это преобразование будет иметь вид

, (3.6)

а в координатной форме – представлять собой систему линейных однородных уравнений

(3.7)

Определение 3.3. Линейное преобразование называется невырожденным, если определитель матрицы линейного преобразования не равен нулю, то есть . Если определитель обращается в нуль, то преобразование будет вырожденным .

Известно, что система (3.7) имеет тривиальное (очевидное) решение – нулевое. Это решение является единственным, если только определитель матрицы не равен нулю.

Ненулевые решения системы (3.7) могут появляться, если линейное преобразование является вырожденным, то есть при нулевом определителе матрицы .

Определение 3.4. Рангом преобразования (3.5) называется ранг матрицы преобразования .

Можно сказать, что этому же числу равно количество линейно-независимых строк матрицы .

Обратимся к геометрической интерпретации линейного преобразования (3.5).

Пример 3.1. Пусть задана матрица линейного преобразования , где Возьмем произвольный вектор , где и найдем его образ:
Тогда вектор
.

Если , то вектор изменит и длину и направление. На рис.1 .

Если , то получим образ

то есть вектор
или , а это значит, что изменит только длину, но не изменит направление (рис. 2).

Пример 3.2. Пусть , . Найдём образ:

то есть
, или .

Вектор в результате преобразования изменил своё направление на противоположное, при этом длина вектора сохранилась (рис. 3).

Пример 3.3. Рассмотрим матрицу линейного преобразования. Несложно показать, что в этом случае образ вектора полностью совпадает с самим вектором (рис. 4). Действительно,

Можно сказать, что линейное преобразование векторов изменяет исходный вектор и по длине, и по направлению. Однако в некоторых случаях существуют такие матрицы, которые преобразуют вектор только по направлению (пример 3.2) или только по длине (пример 3.1, случай ).

Следует заметить, что все векторы, лежащие на одной прямой, образуют систему линейно зависимых векторов.

Вернёмся к линейному преобразованию (3.5)

и рассмотрим совокупность векторов , для которых образом является нуль-вектор, так что .

Определение 3.5 . Совокупность векторов , являющихся решением уравнения , образует подпространство -мерного арифметического пространства и называется ядром линейного преобразования .

Определение 3.6. Дефектом линейного преобразования называется размерность ядра этого преобразования, то есть, наибольшее число линейно-независимых векторов , удовлетворяющих уравнению .

Так как рангом линейного преобразования мы называем ранг матрицы , то можно сформулировать следующее утверждение относительно дефекта матрицы: дефект равен разности , где – размерность матрицы, – её ранг.

Если ранг матрицы линейного преобразования (3.5) ищется методом Гаусса, то ранг совпадает с количеством отличных от нуля элементов на главной диагонали уже преобразованной матрицы, а дефект определяется количеством нулевых строк.

Если линейное преобразование является невырожденным, то есть , то его дефект обращается в ноль, поскольку ядром является единственный нулевой вектор.

Если линейное преобразование вырожденное и , то система (3.6) кроме нулевого решения имеет другие, и дефект в этом случае уже отличен от нуля.

Особый интерес вызывают преобразования, которые, меняя длину, не меняют направление вектора. Точнее говоря, оставляют вектор на прямой, содержащей исходный вектор, при условии, что прямая проходит через начало координат. Такие преобразования будут рассмотрены в следующем пункте 2.4.