1. Дифференциальное уравнение теплопроводности без внутренних источников теплоты (= 0) :
2. Дифференциальное уравнение теплопроводности без внутренних источников теплоты в цилиндрических координатах.
В цилиндрических координатах, в которых где r – радиус-вектор, – полярный угол, уравнение будет иметь вид
Условия однозначности для процессов теплопроводности . Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает не одно, а целый класс явлений теплопроводности. Для получения аналитического описания конкретного процесса необходимо указать его частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями.
Условия однозначности включают в себя:
Геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс;
Физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела;
Временные или начальные условия, характеризующие распределение температуры в теле в начальный момент времени;
Граничные условия, характеризующие условия взаимодействия между рассматриваемым телом и окружающей средой.
Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.
Граничными условиями первого рода задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:
Граничными условиями второго рода задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени:
Граничными условиями третьего рода задаются температура окружающей среды и закон теплообмена между телом и средой, в качестве которого используют закон теплоотдачи (уравнение Ньютона-Рихмана):
Согласно этому закону плотность теплового потока на поверхности
тела пропорциональна разности температур между поверхностью стенки и окружающей средой. Коэффициент пропорциональности в этом уравнении называют коэффициентом теплоотдачи и обозначают a, [Вт/(м 2 ×К)]. Он характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.
С другой стороны, эту же плотность теплового потока можно найти из уравнения:
где индекс «с» указывает на то, что градиент температуры рассчитывается на поверхности тела. Получаем аналитическое выражение для граничных условий третьего рода:
Граничными условиями четвертого рода рассматривается случай, когда два или большее количество тел плотно соприкасаются между собой. В этом случае тепловой поток, прошедший через поверхность одного тела, пройдет и через поверхность другого тела (тепловые потери в месте контакта отсутствуют).
Лекция 2. Раздел 2. Теплопроводность при стационарном режиме
Решение задач по определению температурного поля осуществляется на основании дифференциального уравнения теплопроводности, выводы которого показаны в специальной литературе. В данном пособии приводятся варианты дифференциальных уравнений без выводов.
При решении задач теплопроводности в движущихся жидкостях, характеризующих нестационарное трехмерное температурное поле с внутренними источниками теплоты, используется уравнение
Уравнение (4.10) является дифференциальным уравнением энергии в декартовой системе координат (уравнение Фурье Кирхгофа). В таком виде оно применяется при изучении процесса теплопроводности в любых телах.
Если x = y = z =0, т. е. рассматривается твердое тело, и при отсутствии внутренних источников теплоты q v =0, тогда уравнение энергии (4.10) переходит в уравнение теплопроводности для твердых тел (уравнение Фурье)
(4.11)
Величину С=a, м 2 сек в уравнении (4.10) называют коэффициентом температуропроводности, который является физическим параметром вещества, характеризующим скорость изменения температуры в теле при неустановившихся процессах.
Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств тела. Из уравнения (4.10) следует, что изменение температуры во времени t для любой точки пространства пропорционально величине «а», т. е. скорость изменения температуры в любой точке тела будет тем больше, чем больше коэффициент температу-ропроводности. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности. Коэффициент температуропроводности зависит от природы вещества. Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом температуропроводности. Металлы обладают малой тепловой инерционностью, так как они имеют большой коэффициент температуропроводности.
Для обозначения суммы вторых производных по координатам в уравнениях (4.10) и (4.11) можно использовать символ 2 , так называемый оператор Лапласа, и тогда в декартовой системе координат
Выражение 2 t в цилиндрической системе координат имеет вид
Для твердого тела в стационарных условиях с внутренним источником теплоты уравнение (4.10) преобразуется в уравнение Пуассона
(4.12)
Наконец, для стационарной теплопроводности и при отсутствии внутренних источников теплоты уравнение (4.10) принимает вид уравнения Лапласа
(4.13)
Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах с внутренним источником теплоты
(4.14)
4.2.6. Условия однозначности для процессов теплопроводности
Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе общих законов физики, то оно характеризует явление теплопроводности в самом общем виде. Поэтому можно сказать, что полученное дифференциальное уравнение характеризует целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми, которые включают в себя:
а) геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс;
б) физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела (, С z , , а и др.);
в) временные (начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени;
г) граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.
Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальное условие аналитически может быть записано следующим образом при =0:
t = 1 x, y, z. (4.15)
В случае равномерного распределения температуры в теле начальное условие упрощается: при =0; t=t 0 =idem.
Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.
А. Граничные условия первого рода, задающие распределение температуры на поверхности тела t c для каждого момента времени:
t c = 2 x, y, z, . (4.16)
В частном случае, когда температура на поверхности является постоянной на протяжении всего времени протекания процессов теплообмена, уравнение (4.16) упрощается и принимает вид t c =idem.
Б. Граничные условия второго рода, задающие величину плотности теплового потока для каждой точки поверхности и любого момента времени. Аналитически это можно представить следующим образом:
q n = x, y, z, , (4.17)
где q n плотность теплового потока на поверхности тела.
В простейшем случае плотность теплового потока по поверхности и во времени остается постоянной q n =idem. Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании различных металлических изделий в высокотемпературных печах.
В. Граничные условия третьего рода, задающие температуру окружающей среды t ж и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона.
Согласно закону Ньютона, количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур тела t c и окружающей среды t ж
q = t c t ж . (4.18)
Коэффициент теплоотдачи харктеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.
Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи (4.18), должно равняться теплоте, подводимой к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела (4.7), т. е.
, (4.19)
где n нормаль к поверхности тела; индекс «С» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела (при n=0).
Окончательно граничное условие третьего рода можно записать в виде
. (4.20)
Уравнение (4.20), по существу, является частным выражением закона сохранения энергии для поверхности тела.
Г. Граничные условия четвертого рода, харктеризующие условия теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности. Предполагается, что между телами осуществляется идеальный контакт (температуры соприкасающихся поверхностей одинаковы). В рассматриваемых условиях имеет место равенство тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения:
. (4.21)
Страница 4
. (2.24)
Уравнение (2.24) называется дифференциальным уравнением теплопроводности (или дифференциальным уравнением Фурье) для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты теплопроводностью и устанавливает связь между временным и пространственным изменениям температуры в любой точке поля. Отоларингология лазер применение лазеров.
Температуропроводность является физическим параметром вещества и имеет единицу м2/c. В нестационарных тепловых процессах a характеризует скорость изменения температуры.
Из уравнения (2.24) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a. Поэтому при одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет большую температуропроводность.
Дифференциальное уравнение теплопроводности с источником теплоты внутри тела имеет вид:
, (2.25)
где qV - удельная мощность источника, то есть количество выделяемой теплоты в единице объёма вещества в единицу времени.
Это уравнение записано в декартовых координатах. В других координатах оператор Лапласа имеет иной вид, поэтому меняется и вид уравнения. Например, в цилиндрических координатах дифференциальное уравнение теплопроводности с внутренним источником теплоты таково:
, (2.26)
где r - радиус-вектор в цилиндрической системе координат;
Полярный угол.
2.5 Краевые условия
Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле или начальные условия. Кроме того, должны быть известны:
· геометрическая форма и размеры тела,
· физические параметры среды и тела,
· граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой.
Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями.
Обычно начальные условия распределения температуры задаются для момента времени t = 0.
Граничные условия могут быть заданы тремя способами.
Граничное условие первого рода задается распределением температуры на поверхности тела для любого момента времени.
Граничное условие второго рода задается поверхностной плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени.
Граничное условие третьего рода задается температурой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхность тела и окружающей средой.
Решение дифференциального уравнения теплопроводности при заданных условиях однозначности позволяет определить температурное поле во всем объеме тела для любого момента времени или найти функцию 
.
2.6 Теплопроводность через шаровую стенку
С учётом описанной в разделах 2.1 - 2.5 терминологии задачу данной курсовой работы можно сформулировать так. Постоянный тепловой поток направлен через шаровую стенку, причем источником теплоты является внутренняя сфера радиусом R1. Мощность источника P постоянна. Среда между граничными сферами изотропна, поэтому её теплопроводность c является функцией одной переменной - расстояния от центра сфер (радиуса) r. По условию задачи 
. Вследствие этого температура среды тоже является в данном случае функцией одной переменной - радиуса r: T = T(r), а изотермические поверхности это концентрические сферы. Таким образом искомое температурное поле - стационарное и одномерное, а граничные условия являются условиями первого рода: T(R1) = T1, T(R2) = T2.
Из одномерности температурного поля следует, что плотность теплового потока j так же, как теплопроводность и температура, являются в данном случае функциями одной переменной - радиуса r. Неизвестные функции j(r) и T(r) можно определить одним из двух способов: или решать дифференциальное уравнение Фурье (2.25), или использовать закон Фурье (2.11). В данной работе избран второй способ. Закон Фурье для исследуемого одномерного сферически симметричного температурного поля имеет вид:1 4
Вопрос 23 чему равна удельная теплота плавления льда
Удельная теплота плавления находится по формуле:
где Q – это количество теплоты, необходимое для того, чтобы расплавить тело массой m.
при отвердевании вещества выделяют такое же количество тепла, которое требовалось затратить на их расплавление. Молекулы, теряя энергию, образуют кристаллы, будучи не в силах сопротивляться притяжению других молекул. И опять-таки, температура тела не будет понижаться вплоть до того момента, пока не отвердеет все тело, и пока не выделится вся энергия, которая была затрачена на его плавление. То есть удельная теплота плавления показывает, как сколько надо затратить энергии, чтобы расплавить тело массой m, так и сколько энергии выделится при отвердевании данного тела.
Для примера, удельная теплота плавления воды в твердом состоянии, то есть, Удельная теплота плавления льда равна 3,4*10^5 Дж/кг
Удельная теплота плавления льда равна 3,4 умножить на 10 в 5 степени джоуль/кг
Обозначают удельную теплоту плавления греческой буквой λ (лямбда), а единицей измерения является 1 Дж/кг
Вопрос 24 Обозначим L1 – удельную теплоту парообразования, L2 – удельную теплоту плавления. Что больше?
Поскольку при парообразовании тело получает энергию, можно сделать вывод, что внутренняя энергия тела в газообразном состоянии больше, чем внутренняя энергия тела той же массы в жидком состоянии. Поэтому, при конденсации пар отдаёт то количество энергии, которое потребовалось для его образования
Удельная теплота парообразования – физическая величина, показывающая количество теплоты, требуемое для превращения в пар 1 кг вещества без изменения его температуры. Коэффициенты «r
Удельная теплота плавления – физическая величина, показывающая количество теплоты, требуемое для превращения в жидкость 1 кг вещества без изменения его температуры. Коэффициенты «λ » для различных веществ, как правило, различны. Они измерены опытным путём и занесены в специальные таблицы
Удельная теплота парообразования больше
Вопрос 25 дифференциальное уравнение теплопроводности для двумерного нестационарного температурного поля в декартовых координатах?
х i = x, y, z – декартовая система координат;
Если вдоль одной из координат температура остается постоянной, то математически это условие записывается (например, для координаты z) следующим образом: дТ/дz=0.
В этом случае поле называется двумерным и записывается:
для нестационарного режима Т=Т(х, у, t);
для стационарного режима Т=Т(х, у).
Уравнения двухмерного температурного поля для режима
нестационарного:
Вопрос 26 дифференциальное уравнение теплопроводности для нестационарного температурного поля в цилиндрических координатах?
х i = r, φ, z – цилиндрическая система координат;
Температурное поле есть совокупность значений температуры во всех точках данной расчетной области и во времени.
Температурное поле измеряют в градусах Цельсия и Кельвинах и обозначают также как и в ТТД: ,где х i - координаты точки в пространстве, в которой находят температуру, в метрах [м]; τ – время процесса теплообмена в секундах, [с]. Т. о. температурное поле характеризуется количеством координат и своим поведением во времени.
В тепловых расчетах используют следующие системы координат:
х i = r, φ, z – цилиндрическая система координат;
Температурное поле, которое изменяетсяво времени , называют нестационарным температурным полем. И наоборот, температурное поле, которое не изменяетсяво времени , называют стационарным температурным полем.
цилиндрических координатах (г – радиус; φ – полярный угол; z – аппликата) дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид
,
Постановка задач ТМО
Имеем объем, на который воздействуют тепловые нагрузки необходимо определить численное значение q V и распределение ее по объему.
Рис.2-Внешние и внутренние источники трения
1. Определить геометрию исследуемого объема в любой выбранной системе координат.
2. Определить физические характеристики исследуемого объема.
3. Определить условия, инициирующие процесс ТМО.
4. Уточнить законы, определяющие перенос тепла в исследуемом объеме.
5. Определить начальное тепловое состояние в исследуемом объеме.
Задачи, решаемые при анализе ТМО:
1.«Прямые» задачи ТМО
Дано: 1,2,3,4,5
Определить: распределение температур в пространстве и во времени (далее 6).
2.«Обратные» задачи ТМО (инверсные):
а) обратные граничные задачи
Дано: 1,2,4,5,6
Определить: 3;
б) обратные коэффициенты задачи
Дано: 1,3,4,5,6
Определить: 2;
в) обратная ретроспективная задача
Дано: 1,2,3,4,6
Определить: 5.
3.«Индуктивные» задачи ТМО
Дано: 1,2,3,5,6
Определить: 4.
ФОРМЫ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА И ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
Различают 3 формы переноса тепла:
1) теплопроводность в твердых телах (определяется микрочастицами, а в металлах свободными электронами);
2) конвекция (определяется макрочастицами подвижной среды);
3) тепловое излучение (определяется электромагнитными волнами).
Теплопроводность твердых тел
Общие понятия
Поле температур – это совокупность значений температуры в исследуемом объеме, взятая в некоторый момент времени.
t(x, y, z, τ) - функция, определяющая поле температур.
Различают стационарное и нестационарное поле температур:
стационарное - t(x,y,z);
нестационарное - t(x, y, z, τ) .
Условием стационарности является:
Возьмем некое тело и соединим точки с равными температурами
Рис.3-Градиент температур и тепловой поток
grad t - градиент температуры;
с другой стороны: 
.
Закон Фурье ‑ тепловой поток в твердых телах пропорционален градиенту температуры, поверхности, через которую он проходит и рассматриваемому интервалу времени.
Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом теплопроводности λ , Вт/м·К.
показывает, что тепло распространяется в направлении, противоположном вектору градиента температур.
; 
Для бесконечно малой поверхности и промежутка времени:
Уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)
Рассмотрим бесконечно малый объем: dv =dx ·dy ·dz
Рис.4-Тепловое состояние бесконечно малого объёма
Имеем ряд Тейлора:
Аналогично:
; 
; 
.
В общем случае имеем в кубике q V . В основе вывода лежит обобщенный закон сохранения энергии:
.
В соответствии с законом Фурье:
; 
; 
.
После преобразований имеем:
.
Для стационарного процесса:
Пространственная мерность задач определяется количеством направлений, в которых происходит перенос тепла.
Одномерная задача: 
;
для стационарного процесса: 
;
для : 
для : 
;
a
- коэффициент температуропроводности, 
.декартова система;
k = 1 , ξ = x - цилиндрическая система;
k = 2 , ξ = x - сферическая система.
Условия однозначности
Условие однозначности – это условия, позволяющее выделить из множества допустимых решений одно-единственное, соответствующее поставленной задаче.
Загрузка...