Две прямые в пространстве могут быть расположены различным образом. Прежде всего, может случиться, что две прямые имеют общую точку. Тогда они заведомо лежат в одной плоскости. Действительно, чтобы построить такую плоскость, достаточно провести ее через три точки: точку А пересечения указанных прямых (рис. 323) и точки С и В, взятые соответственно на прямых . Имея с каждой из прямых по две общие точки, плоскость будет содержать обе прямые.
Пусть теперь данные прямые не имеют общих точек. Это еще не означает, что они параллельны, так как определение параллельности предусматривает, что прямые принадлежат одной плоскости. Чтобы решить вопрос о расположении наших прямых, проведем через одну из них, например , и произвольно взятую точку А на другой прямой плоскость К. Возможны два случая:
1) Построенная плоскость содержит всю вторую прямую (рис. 324). В этом случае прямые тип принадлежат одной плоскости и не пересекаются и потому параллельны.
2) Плоскость X пересекает прямую в точке А. Тогда обе прямые не лежат в одной плоскости. Такие прямые называют скрещивающимися (рис. 325).
Итак, возможны три основных случая взаимного расположения двух прямых.
1. Прямые лежат в одной плоскости и пересекаются.
2. Прямые лежат в одной плоскости и параллельны.
3. Прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости.
Пример. Из 12 ребер куба можно образовать пар прямых. Из них 24 пары скрещивающихся, 24 пересекающихся и 18 пар параллельных прямых. Читатель убедится в правильности этого по модели или чертежу.
Заметим, что в пространстве сохраняет силу постулат о параллельных прямых:
Через точку вне прямой проходит единственная прямая, параллельная ей.
В самом деле, прямая и заданная вне ее точка определяют плоскость, в которой обязана лежать искомая прямая, параллельная данной, ее единственность вытекает из постулата о параллельных.
Отметим, что два известных предложения планиметрии, относящиеся к свойствам параллельных прямых, потребуют для случая пространства особого обоснования (см. п. 232).
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой; два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны.
По поводу второго из указанных предложений заметим, что на нем основано определение угла между скрещивающимися прямыми: углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проведенными через произвольную точку М. Очевидно, такое определение опирается на предположение независимости угла от выбора точки М (см. п. 232).
Под перпендикуляром, опущенным из данной точки на прямую, понимается прямая, проведенная из данной точки под прямым углом к данной прямой и пересекающая ее. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести единственный перпендикуляр к ней.
Действительно, искомый перпендикуляр должен лежать в плоскости, определяемой данной прямой и точкой, и потому к нему применимы положения планиметрии. Однако из точки, лежащей на прямой, можно провести к ней бесчисленное множество перпендикуляров: по одному в каждой плоскости, проведенной через эту прямую.
3.1 Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве
Две прямые на плоскости параллельны или пересекаются - третьей возможности для них нет. В пространстве же к этим двум случаям добавляется ещё один - когда две прямые не лежат в одной плоскости. Такие прямые существуют. Возьмём, например, четыре точки А, B, С, D, не лежащие в одной плоскости (задача 1.1). Тогда прямые АВ и CD (рис. 35) не лежат в одной плоскости (так как иначе точки А, B, С, D лежали бы в одной плоскости).
Рис. 35
Итак, для взаимного расположения двух прямых в пространстве возможны такие случаи:
- Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек - параллельные прямые (рис. 36, а).
- Прямые лежат в одной плоскости и имеют общую точку - пересекающиеся прямые (рис. 36, б).
- Прямые не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (рис. 36, в).
Рис. 36
Эти же три случая можно получить иначе.
- Прямые имеют общую точку. Тогда они лежат в одной плоскости. Это пересекающиеся прямые.
- Две прямые не имеют общих точек. Тогда они либо параллельны (если лежат в одной плоскости), либо скрещиваются (если не лежат в одной плоскости).
Все три случая можно видеть на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок комнаты (рис. 37): например, а скрещивается с b и параллельна с, а b и с - пересекаются.
Рис. 37
Отметим, что параллельные прямые задают плоскость, в которой они лежат.
3.2. Признаки скрещивающихся прямых
Указав в п. 3.1 пример двух скрещивающихся прямых АВ и CD, мы фактически воспользовались следующим признаком скрещивающихся прямых:
- Если две прямые содержат четыре точки, не лежащие в одной плоскости, то они скрещиваются. Отсюда легко выводится второй признак скрещивающихся прямых:
- Прямая, лежащая в плоскости, скрещивается с каждой прямой, пересекающей эту плоскость, но не данную прямую.
Доказательство. Пусть прямая а пересекает плоскость а в точке А, но не пересекает прямую b, лежащую в плоскости а (рис. 38). Возьмём на прямой а ещё точку В, а на прямой b две точки С и D. Четыре точки А, B, С и D не лежат в одной плоскости, а потому прямые а и b скрещиваются.
Рис. 38
3.3. Параллельные прямые
Для параллельных прямых в пространстве выполняется, как и на плоскости, следующее утверждение:
Доказательство. Пусть даны прямая а и не лежащая на ней точка А. По теореме 3 через них проходит плоскость; обозначим её а. В плоскости а выполняются все положения планиметрии, а потому в ней через точку А проходит прямая b, параллельная а (рис. 39). Докажем, что другой прямой, параллельной а и проходящей через ту же точку А, нет.
Рис. 39
Действительно, такая прямая по определению параллельных прямых должна лежать с прямой а в одной плоскости. Кроме того, она должна проходить через точку А. Значит, она должна лежать в плоскости, проходящей через прямую а и точку А.
Такая плоскость по теореме 3 только одна - это плоскость а.
Но в плоскости, как известно, через данную точку А проходит только одна прямая, параллельная данной прямой а, - это и есть прямая Ъ. Следовательно, в пространстве через точку А проходит только одна прямая, параллельная данной прямой а.
Как и на плоскости, в пространстве две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. Чтобы доказать этот признак параллельности прямых, докажем сначала такую лемму:
Пусть прямые а и Ь параллельны и плоскость а пересекает прямую а в точке А (рис. 40). Проведём плоскость β через параллельные прямые а и Ь. Плоскости а и β имеют общую точку A, a потому пересекаются по прямой с, проходящей через точку А. Прямая а пересекает прямую с в точке А. Поэтому в плоскости β и параллельная ей прямая b пересекает прямую с в некоторой точке В. В точке В прямая b пересекает и плоскость а.
Рис. 40
Докажем признак параллельности прямых.
Пусть две прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что а||Ь. Возьмём на прямой b некоторую точку В и проведём плоскость а через точку В и прямую а. Тогда прямая b также лежит в плоскости а. Если бы прямая b пересекала плоскость а (в точке В), то по лемме эту плоскость пересекала бы и параллельная ей прямая с. Если же снова применить лемму к параллельным прямым а и с, то получим, что прямая а пересекает плоскость а, что противоречит построению плоскости а (она содержит прямую а). Значит, прямая b лежит в одной плоскости а с прямой а. Пересекаться прямые а и b не могут (по теореме 5). Поэтому прямые а и b параллельны.
Вопросы для самоконтроля
- Как могут располагаться две прямые в пространстве?
- В чём сходство параллельных и скрещивающихся прямых? А в чём их различие? Какие вы знаете признаки скрещивающихся прямых?
- Две прямые пересекают третью. Как могут располагаться первые две прямые?
- Прямые а и b параллельны. Как располагаются прямые а и с, если:
- а) с пересекает Ь;
- б) с скрещивается с b?
В этой статье мы разберемся с понятием прямой линии в трехмерном пространстве, рассмотрим варианты взаимного расположения прямых и остановимся на основных способах задания прямой в пространстве. Для лучшего представления приведем графические иллюстрации.
Навигация по странице.
Прямая в пространстве – понятие.
После того как мы дали определение параллельных прямых в пространстве, следует сказать о направляющих векторах прямой линии в силу их важности. Любой ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, которая параллельна данной, будем называть направляющим вектором прямой. Направляющий вектор прямой очень часто используется при решении задач, связанных с прямой линией в пространстве.
Наконец, две прямые в трехмерном пространстве могут быть скрещивающимися. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такое взаимное расположение двух прямых в пространстве приводит нас к понятию угла между скрещивающимися прямыми .
Способы задания прямой в пространстве.
Существует несколько способов, позволяющих однозначно определить прямую линию в пространстве. Перечислим основные из них.
Мы знаем из аксиомы, что через две точки проходит прямая, причем только одна. Таким образом, если мы отметим две точки в пространстве, то это позволит однозначно определить прямую линию, проходящую через них.
Если в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат и задана прямая с помощью указания координат двух ее точек, то мы имеем возможность составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки .
Второй способ задания прямой в пространстве основан на теореме: через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и причем только одна.
Таким образом, если задать прямую (или отрезок этой прямой) и не лежащую на ней точку, то мы однозначно определим прямую, параллельную заданной и проходящей через данную точку.
Можно указать точку, через которую проходит прямая и ее направляющий вектор. Это также позволит однозначно определить прямую.
Если прямая задана таким способом относительно зафиксированной прямоугольной системы координат, то мы можем сразу записать ее канонические уравнения прямой в пространстве и параметрические уравнения прямой в пространстве .
Следующий способ задания прямой в пространстве основан на аксиоме стереометрии: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Таким образом, задав две пересекающиеся плоскости, мы однозначно определим прямую в пространстве.
Еще один способ задания прямой в пространстве следует из теоремы (ее доказательство Вы можете найти в книгах, указанных в конце этой статьи): если задана плоскость и не лежащая в ней точка, то существует единственная прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к заданной плоскости.
Таким образом, чтобы определить прямую, можно задать плоскость, которой искомая прямая перпендикулярна, и точку, через которую эта прямая проходит.
Если прямая задана таким способом относительно введенной прямоугольной системы координат, то будет полезно владеть материалом статьи уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости .
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Copyright by cleverstudents
Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.
Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Свойства параллельных прямых
Свойство 1. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Признак скрещивающихся прямых.
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
рис. 13 |
a b = K Ka |
=> a и b - скрещивающиеся прямые. |
Выводы:
Случаи взаимного расположения прямых в пространстве.
Замечания:
Задачи и тесты по теме "Тема 2. "Параллельность прямых. Взаимное расположение прямых в пространстве"."
- Параллельность прямых, прямой и плоскости
- Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1
- Параллельность плоскостей - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
- Признаки параллельности двух прямых. Аксиома параллельных прямых - Параллельные прямые 7 класс
Уроков: 2 Заданий: 11 Тестов: 1
- Тетраэдр и параллелепипед - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 8 Тестов: 1
Тема "Аксиомы стереометрии" играет важную роль в развитии пространственных представлений, поэтому старайтесь привлекать больше моделей (картон и спицы), рисунков.
В теме "Параллельность в пространстве" даются знания о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. В данном материале обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности прямых. На примере теоремы о существовании и единственности прямой, параллельной данной, Вы получаете представление о необходимости заново доказать известные из планиметрии факты в тех случаях, когда речь идет о точках и прямых пространства, а не о конкретной плоскости.
Задачи на доказательство решаются во многих случаях по аналогии с доказательством теорем. Для решения задач на вычисление длин отрезков необходимо провести повторение курса планиметрии: равенства и подобия треугольников, определений, свойств и признаков прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.
На этом уроке мы дадим основные определения и теоремы на тему параллельных прямых в пространстве.
В начале урока рассмотрим определение параллельных прямых в пространстве и докажем теорему о том, что через любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной. Далее докажем лемму о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость. И с ее помощью докажем теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.
Тема: Параллельность прямых и плоскостей
Урок: Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых
Мы уже изучали параллельные прямые в планиметрии. Теперь нужно дать определение параллельных прямых в пространстве и доказать соответствующие теоремы.
Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).
Обозначение параллельных прямых: a || b.
1. Какие прямые называются параллельными?
2. Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.
3. Прямая пересекает прямые AB и BC под прямыми углами. Параллельны ли прямые AB и BC ?
4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.
Загрузка...