Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на свет таблицы производных и правил дифференцирования . Начало положено в статье о смысле производной , которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме. Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того,
рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную? и Производная сложной функции.
Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это без пределов функций . Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, что производная
функции в точке определяется формулой:
Напоминаю обозначения и термины: называют приращением аргумента ;
– приращением функции;
– это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»).
Очевидно, что является «динамической» переменной, – константой и результат вычисления предела – числом (иногда – «плюс» либо «минус» бесконечностью) .
В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение , принадлежащее области определения функции , в котором существует производная.
Примечание : оговорка «в котором существует производная» – в общем случае существенна ! Так, например, точка хоть и входит в область определения функции , но производной
Там не существует. Поэтому формула
Не применима в точке ,
и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с «обрывами» графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса.
Таким образом, после замены , получаем вторую рабочую формулу:
Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела
является производная функция .
Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:
– Найти производную в точке , используя определение производной.
– Найти производную функцию , используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.
Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число (как вариант, бесконечность) , а во втором –
функцию . Кроме того, производной может и вовсе не существовать.
Как ?
Составить отношение и вычислить предел .
Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу
Кажется волшебством, но в
действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных , оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:
По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .
Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.
Рассмотрим некоторую (конкретную) точку , принадлежащую области определения функции , в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о -я) и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим предел:
Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим
числитель и знаменатель на сопряженное выражение :
Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций .
Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точку интервала
То, осуществив замену , получаем:
В который раз порадуемся логарифмам:
Найти производную функции , пользуясь определением производной
Решение : рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от
подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву .
Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую области определения функции (интервалу ), и зададим в ней приращение . А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.
Тогда соответствующее приращение функции:
Найдём производную:
Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может
возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».
Устранение неопределённости закомментирую пошагово:
(1) Используем свойство логарифма .
(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.
(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы
воспользоваться замечательным пределом , при этом в качестве бесконечно малой величины выступает .
Ответ : по определению производной:
Или сокращённо:
Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:
Найти производную по определению
В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).
Найти производную по определению
А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.
Аналогично выводится ряд других табличных производных . Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1- м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены
формулой .
Переходим к реально встречающимся заданиям: Пример 5
Найти производную функции , используя определение производной
Решение : используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:
Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку (число) и находим в ней значение функции: , то есть в функцию
вместо «икса» следует подставить . Теперь берём
Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить . Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.
Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:
Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:
В итоге:
Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём замену и получим .
Ответ : по определению.
В целях проверки найдём производную с помощью правил
дифференцирования и таблицы:
Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.
Найти производную функции по определению производной
Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:
Вернёмся к стилю №2: Пример 7
Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции :
Решение : рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение аргумента и составим приращение
Найдём производную:
(1) Используем тригонометрическую формулу
(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.
(3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.
(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом
указываем, что слагаемое .
(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.
Ответ : по определению Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в
сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».
Пользуясь определением, найти производную функции
Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.
Разберём более редкую версию задачи:
Найти производную функции в точке , пользуясь определением производной.
Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число Вычислим ответ стандартным способом:
Решение : с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле вместо
рассматривается конкретное значение.
Зададим в точке приращение и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим производную в точке:
Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение к первому
замечательному пределу:
Ответ : по определению производной в точке.
Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить на или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.
Пример 10 Используя определение, найти производную функции в точке
Это пример для самостоятельного решения.
Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:
Будет ли дифференцируема функция в точке ?
Решение : очевидно, что кусочно-заданная функция непрерывна в точке , но будет ли она там дифференцируема?
Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:
1) Находим левостороннюю производную в данной точке: .
2) Находим правостороннюю производную в данной точке: .
3) Если односторонние производные конечны и совпадают:
, то функция дифференцируема в точке и
геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной ).
Если получены два разных значения: (одно из которых может оказаться и бесконечным) , то функция не дифференцируема в точке .
Если же обе односторонние производные равны бесконечности
(пусть даже разных знаков), то функция не
дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику (см. Пример 5 урока Уравнение нормали ) .
Примечание : таким образом, между вопросами «Будет ли дифференцируема функция в точке?» и «Существует ли производная в точке?» есть разница!
Всё очень просто!
1) При нахождении левосторонней производной приращение аргумента отрицательно: , а слева от точки расположена парабола , поэтому приращение функции равно:
И соответствующий левосторонний предел численно равен левосторонней производной в рассматриваемой точке:
2) Справа от точки находится график прямой и приращение аргумента положительно: . Таким образом, приращение функции:
Правосторонний предел и правосторонняя производная в точке:
3) Односторонние производные конечны и различны:
Ответ : функция не дифференцируема в точке .
Ещё легче доказывается книжный случай недифференцируемости модуля в точке , о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной .
Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы и в точках «стыка» графика, например, котопёс
обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.
На этом забавном гибриде и закончим повествование =) Решения и ответы:
Пример 3: Решение : рассмотрим некоторую точку , принадлежащую области определения функции . Зададим в
данной точке приращение и составим соответствующее приращение функции:
Найдём производную в точке :
Так как в качестве можно выбрать любую точку области определения функции , то и
Ответ : по определению производной
Пример 4: Решение : рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение . Тогда соответствующее приращение функции:
Найдём производную:
Используем замечательный предел
Ответ : по определению
Пример 6: Решение : рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:
Ответ : по определению
Пример 10: Решение : Зададим приращение в точке . Тогда приращение функции:
Вычислим производную в точке:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
Ответ : по определению производной в точке
Производная функции одной переменной.
Введение.
Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».
Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.
В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.
§1. Определение производной.
Механический и геометрический смысл
производной.
Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.
Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.
Итак, производной функцииy=f(x)
в точкеx0 называется
предел (если он существует) отношения
приращения функции
к приращению аргумента
при
.
Производную принято обозначать
так:
.
Таким образом, по определению
Для обозначения производной употребляются
также символы
.
Механический смысл производной.
Если s=s(t)
– закон прямолинейного движения
материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.
Геометрический смысл производной.
Если функция y=f(x)
имеет производную в точке,
то угловой коэффициент касательной к
графику функции в точке
равен
.
Пример.
Найдите производную функции
в точке=2:
1) Дадим точке
=2
приращение
.
Заметим, что.
2) Найдем приращение функции в точке =2:
3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
Найдем предел отношения при
:
.
Таким образом,
.
§ 2. Производные от некоторых
простейших функций.
Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.
Найдем производную функции у=х.
т.е. (x)′=1.
Найдем производную функции
Производная
Пусть
тогда
Легко заметить закономерность в
выражениях производных от степенной
функции
приn=1,2,3.
Следовательно,
. (1)
Эта формула справедлива для любых действительных n.
В частности, используя формулу (1), имеем:
;
.
Пример.
Найдите производную функции
.
.
Данная функция является частным случаем функции вида
при
.
Используя формулу (1), имеем
.
Производные функций y=sin x и y=cos x.
Пусть y=sinx.
Разделим на ∆x, получим
Переходя к пределу при ∆x→0, имеем
Пусть y=cosx .
Переходя к пределу при ∆x→0, получим
;
.
(2)
§3. Основные правила дифференцирования.
Рассмотрим правила дифференцирования.
Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)"=u"+v".(3)
Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).
Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение
∆y=f(x+∆x)-f(x)=
=--=∆u+∆v.
Следовательно,
Итак, (u+v)"=u"+v".
Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)"=u"v+uv". (4)
Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.
Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или
y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.
Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.
Отсюда
Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь
Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.
Если
то
(5)
Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y"=0.
Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y"=Cu"(x).
Пример 1.
Найдите производную функции
.
Данная функция имеет вид
,
гдеu=x,v=cosx. Применяя правило
дифференцирования (4), находим
.
Пример 2.
Найдите производную функции
.
Применим формулу (5).
Здесь
;
.
Задачи.
Найдите производные следующих функций:
;
11)
2)
;
12)
;
3)
13)
4)
14)
5)
15)
6)
16)
7
)
17)
8)
18)
9)
19)
10)
20)
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Запомнить очень легко.
Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:
В нашем случае основанием служит число:
Такой логарифм (то есть логарифм с основанием) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение: вместо пишем.
Чему равен? Конечно же, .
Производная от натурального логарифма тоже очень простая:
Примеры:
- Найди производную функции.
- Чему равна производная функции?
Ответы: Экспонента и натуральный логарифм - функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.
Правила дифференцирования
Правила чего? Опять новый термин, опять?!...
Дифференцирование - это процесс нахождения производной.
Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции при. Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.
При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, и. Нам понадобятся также формулы их приращений:
Всего имеется 5 правил.
Константа выносится за знак производной.
Если - какое-то постоянное число (константа), тогда.
Очевидно, это правило работает и для разности: .
Докажем. Пусть, или проще.
Примеры.
Найдите производные функций:
- в точке;
- в точке;
- в точке;
- в точке.
Решения:
- (производная одинакова во всех точках, так как это линейная функция, помнишь?);
Производная произведения
Здесь все аналогично: введем новую функцию и найдем ее приращение:
Производная:
Примеры:
- Найдите производные функций и;
- Найдите производную функции в точке.
Решения:
Производная показательной функции
Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).
Итак, где - это какое-то число.
Мы уже знаем производную функции, поэтому давай попробуем привести нашу функцию к новому основанию:
Для этого воспользуемся простым правилом: . Тогда:
Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция - сложная.
Получилось?
Вот, проверь себя:
Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было, так и осталось, появился только множитель, который является просто числом, но не переменной.
Примеры:
Найди производные функций:
Ответы:
Это просто число, которое невозможно посчитать без калькулятора, то есть никак не записать в более простом виде. Поэтому в ответе его в таком виде и оставляем.
Заметим, что здесь частное двух функций, поэтому применим соответствующее правило дифференцирования:
В этом примере произведение двух функций:
Производная логарифмической функции
Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:
Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, :
Нужно привести этот логарифм к основанию. А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:
Только теперь вместо будем писать:
В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной). Производная получается очень просто:
Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.
Производная сложной функции.
Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».
Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.
Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось? Функция. Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.
Другими словами, сложная функция - это функция, аргументом которой является другая функция : .
Для нашего примера, .
Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: . Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.
Второй пример: (то же самое). .
Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией , а действие, совершаемое первым - соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).
Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:
Ответы: Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции
- Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. Значит, внутренняя функция, а внешняя.
А исходная функция является их композицией: . - Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: . - Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: . - Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: . - Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: .
производим замену переменных и получаем функцию.
Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку - искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так:
Другой пример:
Итак, сформулируем, наконец, официальное правило:
Алгоритм нахождения производной сложной функции:
Вроде бы всё просто, да?
Проверим на примерах:
Решения:
1) Внутренняя: ;
Внешняя: ;
2) Внутренняя: ;
(только не вздумай теперь сократить на! Из под косинуса ничего не выносится, помнишь?)
3) Внутренняя: ;
Внешняя: ;
Сразу видно, что здесь трёхуровневая сложная функция: ведь - это уже сама по себе сложная функция, а из нее еще извлекаем корень, то есть выполняем третье действие (шоколадку в обертке и с ленточкой кладем в портфель). Но пугаться нет причин: все-равно «распаковывать» эту функцию будем в том же порядке, что и обычно: с конца.
То есть сперва продифференцируем корень, затем косинус, и только потом выражение в скобках. А потом все это перемножим.
В таких случаях удобно пронумеровать действия. То есть, представим, что нам известен. В каком порядке будем совершать действия, чтобы вычислить значение этого выражения? Разберем на примере:
Чем позже совершается действие, тем более «внешней» будет соответствующая функция. Последовательность действий - как и раньше:
Здесь вложенность вообще 4-уровневая. Давай определим порядок действий.
1. Подкоренное выражение. .
2. Корень. .
3. Синус. .
4. Квадрат. .
5. Собираем все в кучу:
ПРОИЗВОДНАЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Производная функции - отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента:
Базовые производные:
Правила дифференцирования:
Константа выносится за знак производной:
Производная суммы:
Производная произведения:
Производная частного:
Производная сложной функции:
Алгоритм нахождения производной от сложной функции:
- Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.
- Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.
- Умножаем результаты первого и второго пунктов.
Найти выражение для производной экспоненциальной функции \(y = {e^x}\), пользуясь определением производной.
Решение.
Начальные шаги являются стандартными: сначала запишем приращение функции \(\Delta y\), соответствующее приращению аргумента \(\Delta x\): \[ {\Delta y = y\left({x + \Delta x} \right) - y\left(x \right) } = {{e^{x + \Delta x}} - {e^x} } = {{e^x}{e^{\Delta x}} - {e^x} } = {{e^x}\left({{e^{\Delta x}} - 1} \right).} \] Производная вычисляется как предел отношения приращений: \[ {y"\left(x \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^x}\left({{e^{\Delta x}} - 1} \right)}}{{\Delta x}}.} \] Функция \(y = {e^x}\) в числителе не зависит от Δx и ее можно вынести за знак предела. Тогда производная принимает такой вид: \[ {y"\left(x \right) = {\left({{e^x}} \right)^\prime } } = {{e^x}\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{\Delta x}} - 1}}{{\Delta x}}.} \] Обозначим полученный предел через \(L\) и вычислим его отдельно. Заметим попутно, что \({e^0} = 1\) и, поэтому, можно записать \[ {L = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{\Delta x}} - 1}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{\Delta x}} - {e^0}}}{{\Delta x}} = e"\left(0 \right),} \] то есть данный предел представляет собой значение производной показательной функции в нуле. Следовательно, \ Мы получили соотношение, в котором искомая производная выражается через саму функцию \(y = {e^x}\) и ее производную в точке \(x = 0\). Докажем, что \ Для этого вспомним, что число \(e\) определяется в виде бесконечного предела как \ а число \(e\) в степени \(\Delta x\) будет, соответственно, равно \[{e^{\Delta x}} = \lim\limits_{n \to \infty } {\left({1 + \frac{{\Delta x}}{n}} \right)^n}.\] Далее применим знаменитую формулу бинома Ньютона и разложим выражение под знаком предела в биномиальный ряд : \[{\left({1 + \frac{{\Delta x}}{n}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} .\] Здесь \({C_n^k}\) обозначает число сочетаний из \(n\) элементов по \(k\). В европейских и американских учебниках число сочетаний обозначается как \ Вернемся к нашему пределу \(L\), который теперь можно записать в таком виде: \[ {L = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{\Delta x}} - 1}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} } \right] - 1}}{{\Delta x}}.} \] Нам удобно в биномиальном ряде выделить первые два слагаемых: при \(k = 0\) и \(k = 1\). В результате получаем \[ {L = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} } \right] - 1}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {C_n^0{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^0} + C_n^1{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^1} + \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} } \right] - 1}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {1 + n \cdot \frac{{\Delta x}}{n} + \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} } \right] - 1}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x + \lim\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} }}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {1 + \frac{1}{{\Delta x}}\lim\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} } \right] } = {1 + \lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \left({\sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k\frac{{{{\left({\Delta x} \right)}^{k - 1}}}}{{{n^k}}}} } \right)} \right].} \] Очевидно, что сумма ряда стремится к нулю при \(\Delta x \to 0\). Поэтому, \(L = 1\). Это означает, что производная экспоненциальной функции \(y = {e^x}\) равна самой функции: \